复数的加法与减法

复数的加法与减法一、复习提问：1、复数的概念：形如______________的数叫做复数，a，b分别叫做它的_____________。2、复数的分类：复数a+bi(a，b∈R)，当b=0时，就是________;当b≠0时，叫做_______;当a=0，b≠0时，叫做_______;3、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i相等的充要条件是_____________。a1=a2，b1=b2a+bi(a，b∈R)纯虚数实数虚数实部和虚部二、讲授新课：1、复数的加法法则：设Z1=a+bi，Z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定，规定以后就按规定进行运算。（2）复数的加法中规定：是实部与实部相加，虚部与虚部相加。很明显，两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。思考：设Z1，Z2，Z3∈C，试验证：Z1+Z2=Z2+Z1(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)是否成立？验证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i显然Z1+Z2=Z2+Z1同理可得(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立；当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致，体现了复数加法法则的合理性。2、复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）－（c+di）请同学们推导复数的减法法则。事实上，由复数相等的定义，有：c+x=a，d+y=b由此，得x=a－c，y=b－d所以x+yi=(a－c)+(b－d)i即：（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－d)i点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。结论：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）。例1、计算（5-6i）+（－2－i）－（3+4i）分析：先求第1个复数与第2个复数的和，再求和与第3个复数的差。解：原式=[5+(-2)]+[(-6)+(-1)]i－(3+4i)即：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+(b±d)i=－11i又原式=（5－2－3）+(－6－1－4)i=－11i点评：几个复数相加（减），可将它们的实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）。=（3-7i）－（3+4i）=(3-3)+(-7-4)i三、练习：1.(2+4i)+(3-4i)2.5-(3+2i)3.(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)4.(2-i)-(2+3i)+4i=(2+3)+(4-4)i=5=(5-3)+(0-2)i=2-2i=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i=(2-2+0)+(-1-3+4)i=05.(3+5i)+(3-4i)6.(-3+2i)-(4-5i)7.(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(3+3)+(5-4)i=6+i=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i=(5-2-3)+(-6-2-3)i=-11i8.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i∴(3+x)+(2-y)i=5-6i∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i3+x=5,2-y=-6.∴x=2y=8∴四、归纳小结：1、若干个复数相加（减），可以将它们的实部与虚部分别相加（减），复数的加（减）与多项式加（减）法是类似的。2、复数的减法法则的推导是利用两复数相等来完成的，渗透了转化的数学思想。,)3(2,)15(2,221immzimmmmzRm复数选做题：设的取值范围。是虚数，求若mzz21例2、已知Z1=a+bi（a，b∈R），Z2=3－i，且Z1－Z2与Z3=－2+i在复平面内对应的点关于原点对称，试求a，b的值。思考：1、两个复数Z1－Z2、Z3在复平面对应的点分别是什么？2、这两点的坐标有什么关系？分析：先求出Z1－Z2=(a+bi)－(3－i)=(a－3)+(b+1)i所以Z1－Z2可用点（a－3，b+1）表示，又Z3可用点（－2，1）表示，这两点关于原点对称，∴a－3=2b+1=－1a=5b=－2三、课堂练习1、计算：（1）(－3－4i)+(2+i)－(1－5i)=___________（2）(3－2i)－(2+i)－(________)=1+6i2、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x－1)+i=y－(3－y)i则x=_______y=_______3、已知复数Z1=－2+i，Z2=4－2i，试求Z1+Z2对应的点关于虚轴对称点的复数。4、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1，Z2，且满足Z1+i=Z2－2，求Z1和Z2。－2+2i－9i－234i分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：（2x－1)+i=(a－3)i+ai2=－a+(a－3)i－23由复数相等得2x－1=－aa－3=1x=y=4i分析：先求出Z1+Z2=2－i，所以Z1+Z2在复平面内对应的点是(2，－1)，其关于虚轴的对称点为(－2，－1)，故所求复数是－2－i分析：依题意设Z1=x+yi（x，y∈R）则Z2=－x－yi，由Z1+i=Z2－2得：x+(y+1)i=－(x－2)+(－y)i，由复数相等可求得x=－1，y=－1/2