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1.1变化率与导数第一章导数及其应用高中数学新课程选修2-21.1.1变化率问题问题提出1.在物理学中，求变速运动的物体在某一时间段内的平均速度可以用公式但它不能真实反映物体在某一时刻的运动状态，必须用瞬时速度来刻画.,svt=VV2.我们都有过爬山的体验，在爬山的过程中，当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁.如果山路是平直的，可以用坡度来反映山坡的平缓与陡峭程度，如果登山的路线是弯曲的，用什么数据来刻画山路的平缓与陡峭程度，就成为一个有待研究的数学问题.探究（一）：气球的膨胀率在吹气球的过程中，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度越来越慢.设气球的体积为V（单位：L），某一时刻的半径为r（单位：dm）.1、气球的体积V与半径r的函数关系是什么？34()3Vrrp=34()3Vrrp=2、如果将半径r表示为体积V的函数，则该函数的解析式是什么？33()4VrVp=4、当空气容量V从1增加到2时，气球的半径增加了多少？r(2)－r(1)≈0.16(dm)，(2)(1)0.16(/)21rrdmL-»-3、当空气容量V从0增加到1时，气球的半径增加了多少？r(1)－r(0)≈0.62(dm)，(1)(0)0.62(/)10rrdmL-»-用来刻画气球的平均膨胀率。2121()()rVrVVV--(1)(0)0.62(/)10rrdmL-»-(2)(1)0.16(/)21rrdmL-»-半径的增加量越来越小体积的增加量5、随着气球体积逐渐增大，气球的平均膨胀率如何变化？平均膨胀率逐渐变小.332121332233321212211()()33144()()VVrVrVVVVVVVVVpp--=??--++探究（二）：高台跳水的平均速度1、运动员在0s到0.5s时段内的平均速度为多少？在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(0.5)(0)4.05(/)0.50hhvms-==-(0.5)(0)4.05(/)0.50hhvms-==-(0.5)(0)4.05(/)0.50hhvms-==-(0.5)(0)4.05(/)0.50hhvms-==-2、运动员在1s到2s时段内的平均速度为多少？(2)(1)8.2(/)21hhvms-==--0v=0v=0v=3、如何计算运动员在0s到s时段内的平均速度？运动员在该时段内是静止的吗？6549，运动员在该时段内是运动的。4、一般地，运动员在t1s到t2s时段内的平均速度如何计算？212121()()4.9()6.5hthtvtttt-==-++-5、在单位时段内，运动员的平均速度如何变化？平均速度逐渐增大.探究（三）：平均变化率1、如果将上述两个问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么平均膨胀率和平均速度可用什么代数式表示？2121()()fxfxxx--2、把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，那么函数的平均变化率用文字语言怎样表述？其几何意义是什么？2121()()fxfxxx--某两个自变量对应的函数值的差与相应自变量的差的比值.连结点（x1，f(x1)）和（x2，f(x2)）的直线的斜率.3、习惯上用△x表示x2－x1，用△y表示f(x2)－f(x1)，则平均变化率可以表示为，如何进一步理解△x和△y的含义？yxVV△x是自变量的增加值，△y是对应的函数值增量.4、代数式表示的含义是什么？00()()fxxfxx+-VV函数f(x)从x0到x0＋△x的平均变化率.理论迁移例1求函数y＝5x2＋6在区间[2，2＋△x]内的平均变化率.20＋5△x.例2某盏路灯距离地面高8m，一个身高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.△s1.4△t81.717(/)45smst=VV小结作业1.函数的平均变化率是函数值增量与自变量增量的比值，在实际问题中它具有相应的实际意义，如膨胀率，平均速度，平均增长率等.2.自变量增量△x的值可以是正数，也可以是负数，但△x≠0；函数值增量△y可以为任意实数，当△y＝0时，平均变化率为零.3.函数的平均变化率与自变量的初始值及其增量有关，它能刻画函数在某个区间内函数值的平均取值情况，但不能反映函数在区间内各点的函数值.作业：P10习题1.1A组：1.