《概率论与数理统计》第五章作业解答

概率论与数理统计第五章作业解答大龙在这里呢2017年10月27日摘要《概率论与数理统计》电子科技大学应用数学学院徐全智、吕恕主编，第五章作业题解答。目录1题型分布12习题解答11题型分布第五章《大数定律和中心极限定理》本章介绍的大数定律和中心极限定理是独立随机变量序列的部分极限定理，是概率论和数理统计的基本理论，在理论与实际应用中都十分重要.5.1随机变量序列的收敛性5.2大数定律：习题1-3一、切比雪夫不等式二、大数定律5.3中心极限定理：习题4-105.4应用一、蒙特卡罗模拟：蒙特卡罗模拟又称统计试验法，是计算机模拟方法的重要组成部分2习题解答1、进行600次伯努利试验，事件A在每次试验中发生的概率为p=25，设Y表示600次试验中事件A发生的总次数，利用切比雪夫不等式估计概率P｛216Y264｝.解：E(Y)=np=60025=24012习题解答2D(Y)=np(1p)=6002535=144切比雪夫不等式：PfjXE(X)jϵg1D(X)ϵ2Pf216Y264g=PfjY240j24g1144242=342、若随机变量X1,X2,...,X100相互独立且都服从区间（0，6）上的均匀分布.设Y=∑100i=1Xi，利用切比雪夫不等式估计概率P｛260Y340｝.解：E(Xi)=3,D(Xi)=3,E(Y)=300,D(Y)=300Pf260Y340g=PfjY300j40g1300402=13163、利用切比雪夫大数定律证明泊松大数定律：设X1,X2,...,Xn,...为相互独立的随机变量序列，有PfXn=1g=pn,PfXn=0g=1pn,(0pn1),n=1,2,...，则X1,X2,...,Xn,...服从大数定律.证明：E(Xi=pi,D(Xi=pi(1pi)14,E(1n1∑i=1Xi)=1n1∑i=1E(Xi)=D(1n1∑i=1Xi)=1n21∑i=1D(Xi)1n2
n4=14n由切比雪夫不等式，对于任给的ϵ0,有Pfj1n1∑i=1Xi1n1∑i=1E(Xi)jϵg11n2∑1i=1D(Xi)ϵ2114nϵ2limn!1Pfj1n1∑i=1Xi1n1∑i=1E(Xi)jϵg=1故X1,X2,...,Xn,...服从大数定律.4、调整200台仪器的电压，假设调整电压过高的可能性为0.5，试求调整电压过高的仪器台数在95至105台之间的概率.解：设Y为调整电压过高的仪器台数，E(Y)=np=2000.5=100,D(Y)=np(1p)=50Pf95Y105g=(105100p50)(95100p50)=(p22)(p22)=2(p22)1=0.5222.2习题解答35、某射手每次射击的命中率为p=0.8，现射击100发子弹，各次射击互不影响，求命中次数在72与88之间的概率，解：设Y为命中次数,E(Y)=np=1000.8=80,D(Y)=np(1p)=16Pf72Y88g=(8072p40)(8088p40)=(2)(2)=2(2)1=0.9544.6、设某个系统由100个相互独立的部件组成，每个部件损坏的概率均为0.1，必须有85个以上的部件工作才能使整个系统正常工作，求整个系统正常工作的概率.解：设Y为整个系统正常工作的部件数，E(Y)=np=1000.9=90,D(Y)=np(1p)=9Pf85y100g=(100903)(85903)=(103)(53)=(3.33)1+(1.67)=0.9525.7、对敌人阵地进行100次炮击，每次炮击时炮弹命中次数的数学期望为4，方差为2.25，求在100次炮击中有380颗到420颗炮弹命中目标的概率.解：设Xi为第i次炮击时炮弹命中次数，Y为炮击中命中目标的炮弹数，E(Xi)=4,D(Xi)=2.25;E(Y)=400,D(Y)=225Pf380y420g=(42040015)(38040015)=(43)(43)=(1.33)1+(1.33)=0.8164.8、一个加法器同时收到20个噪声电压V1,V2,...,V20,，设它们是相互独立的，且都在区间（0，10）上服从均匀分布，记V=∑20i=1Vi,求概率PfV105g.解：E(Vi)=5,D(Vi)=10012;E(V)=100,D(V)=5003PfV105g=1PfV105g=1(105100√5003)=0.3483.9、某种电器元件的寿命（单位：小时）T服从参数为1/100的指数分布，现随机抽取16件，设它们的寿命相互独立，求这16个元件的寿命总和大于1920小时的概率.解：设Xi为第i次电器元件的寿命，Y为16个元件的寿命总和，Y=16∑i=1XiE(Xi)=100,D(Xi)=10000;E(Y)=1600,D(Y)=1600002习题解答4PfY1920g=1PfP1920g=1(19201600400)=1(0.8)=0.2199.10、某个系统由相互独立的n个部件组成，每个部件的可靠性（即正常工作的概率）为0.9，且至少有80%的部件正常工作，才能使整个系统工作.问n至少为多大，才能使系统的可靠性为95%解：设Y为正常工作的部件数,E(Y)=np=0.9n,D(Y)=np(1p)=0.09nPf0.8nyng=(n0.9np0.09n)(0.8n0.9np0.09n)=(pn3)(pn3)=2(pn3)10.95.(pn3)0.975查表，得(1.96)=0.975,pn30.975,n35.（2017年10月29日答毕）