专题研究乘法公式详细总结及典型例题

乘法公式专题【主要内容】1．两数和乘以它们的差·推导：（a+b）（a-b）=22bababa（多项式乘法法则）22ba（合并同类项）·公式：（a+b）(a-b)＝a2-b2·语言表示：两个数的和与这两个数的差的积等于这两数的平方差·用面积表示：矩形ABCD的面积=（a+b）（a-b）公式的结构特征：①左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。②右边：两项的平方差，其中被减数就是左边两个二项式中完全相同的项的平方。③公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式2．两数和的平方·推导222))(()(babababababa（多项式乘法法则）222baba（合并同类项）·公式：2222bababa·语言表述：首平方、尾平方、乘积两倍放中央。·用面积表示：正方形ABCD的面积=2)(ba又正方形ABCD又被分成了四块，这四块的面积分别是2a、ab、ab、2b即2222)(bababa·公式的结构特征：（1）左边：两数和的平方。即2)(ba（2）右边：是二次三项式，这两数的平方和加上这两数积的2倍，即abba222（3）公式中的a、b可以是数、单项式、多项式。【乘法公式的变形】(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz【平方差、完全平方式例题讲解】一、计算1.（a+3）（a-3）（a2+9）2.(2x-1)(2x+1)(4x2+1)(16x4+1)3.(2x-y)(y+2x)-2(3x-2y)(-2y-3x)-(11x-3y)(2x+3y)二、计算1.(3a+b)2=2.(-x+3y)2=3.(-m-n)2=三、简便计算1.498×502=2.1022=3.20042-4006×2004+20032=四、整体思想1.(x-y-z)(x-y+z)=2.(3a+4b-c)2=五、逆用公式1.（x+y）2（x-y）2-（x-y）(x+y)(x2+y2)=2.（x+2y）2(x-2y)2=3.（x+1）2(x-1)2(x2+1)2=六、灵活运用公式1.已知：a+b=3，ab=-12,求a2+b2和(a-b)2的值。2.已知：a+b=9，ab=14,求2a2+2b2的值。3.已知x+2y=7，xy=6,求（x-2y）2的值。七、整体思想灵活运用已知(a+b)2=7,(a-b)2=13,求a2+b2,ab,baab的值。八、平方差公式的灵活运用（2+1）（22+1）(24+1)(28+1)(216+1)九、完全平方式的运用1.已知：a2+b2+4a-2b+5=0,求a、b的值。2.已知：三角形a、b、c满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，试判断三角形的形状。3.已知：x-2y=3，xy=2,求x+2y的值。4.若x-y=2,x2+y2=4,试x2005+y2005的值。5.已知a-b=3,b-c=2，求：a2+b2+c2-ab-bc-ac的值。6.试说明a(a+1)(a+2)(a+3)+1是一个完全平方式。十、化简（a+1）(a2+1)(a4+1)……（a2000+1）十一、完全平方式的变形1.已知：x+x1=3,求x2+21x的值。2..已知：x2-5x+1=0,求x2+21x的值。3..已知：x+x1=4,则1242xxx的值。十二、平方差公式的灵活运用(1-)200011)(199911()311)(212222十三、比较大小若x是不为0的有理数，已知：M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M,N的大小关系。十四、已知2a2-8ab+17b2-16a-4b+680,求（a+b）b的值。十五、规律题1.观察下列各式3×5=42-1，5×7=62-1，……，11×13=122-1，把你观察发现的规律用含一个字母n的式子表示为___________十六、整除题数724-1可被40至50之间（不包括50）的两个整数整除，求这两个整数。十七、拔高1.a-b=3,b-c=2,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值。2.已知：a=2001x+1999,b=2001x+2000,c=2001x+2001,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值。【乘法公式的用法】(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。例1.计算：53532222xyxy解：原式53259222244xyxy(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例2.计算：111124aaaa解：原式111224aaa111448aaa例3.计算：32513251xyzxyz解：原式25312531yzxyzx25314925206122222yzxyxzyzx三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例4.计算：57857822abcabc解：原式578578578578abcabcabcabc101416140160abcabac四、变用:题目变形后运用公式解题。例5.计算：xyzxyz26解：原式xyzzxyzz2424xyzzxyzxyxzyz241224422222五、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：12223244222222222222....abababababababababababab灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6.已知abab45，，求ab22的值。解：ababab2222242526例7.计算：abcdbcda22解：原式bcadbcad222222244222222bcadabcdbcad例8.已知实数x、y、z满足xyzxyy592，，那么xyz23（）解：由两个完全平方公式得：ababab1422从而zxyy222145925414529696932222yyyyyyy∴∴，∴∴zyzyxxyz22300322322308【学习乘法公式应注意的问题】（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4．例2计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y+2yz-z2．例4计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2=[(a3-1)(a6+a3+1)]2=(a9-1)2=a18-2a9+1例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7(1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，∴xy=30故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．例8计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2=4a2+4b2+4c2（五）、注意乘法公式的逆运用例9计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]=2a(-4b+6c)=-8ab+12