轴向拉伸和压缩

第2章轴向拉伸和压缩2.1轴向拉伸和压缩的概念工程实际中，发生轴向拉伸或压缩变形的构件很多，例如，钢木组合桁架中的钢拉杆(如图2.1所示)和三角支架ABC(如图2.2所示)中的杆，作用于杆上的外力(或外力合力)的作用线与杆的轴线重合。在这种轴向荷载作用下，杆件以轴向伸长或缩短为主要变形形式，称为轴向拉伸或轴向压缩。以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉(压)杆。图2.1钢木组合桁架图2.2三角支架实际拉(压)杆的端部连接情况和传力方式是各不相同的，但在讨论时可以将它们简化为一根等截面的直杆(等直杆)，两端的力系用合力代替，其作用线与杆的轴线重合，则其计算简图如图2.3所示。FFF(b)(a)F(a)FFF(b)(a)F(b)图2.3拉(压)杆计算简图本章主要研究拉(压)杆的内力、应力及变形的计算。同时还将通过拉伸和压缩试验，来研究材料在拉伸与压缩时的力学性能。2.2轴力、轴力图在研究杆件的强度、刚度等问题时，都需要首先求出杆件的内力。关于内力的概念及其计算方法，已在上一章中阐述。如图2.4(a)所示，等直杆在拉力的作用下处于平衡，欲求某横截面m—m上的内力，按截面法，先假想将杆沿m—m截面截开，留下任一部分作为脱离体进行分析，并将去掉部分对留下部分的作用以分布在截面m—m上各点的内第2章轴向拉伸和压缩9力来代替(如图2.4(b)所示)。对于留下部分而言，截面m—m上的内力就成为外力。由于整个杆件处于平衡状态，杆件的任一部分均应保持平衡。于是，杆件横截面m—m上的内力系的合力(轴力)NF与其左端外力F形成共线力系，由平衡条件0xF，N0FF得NFF(c)(b)(a)mmmmmmNF}{FFFFNF(a)(c)(b)(a)mmmmmmNF}{FFFFNF(b)(c)(b)(a)mmmmmmNF}{FFFFNF(c)图2.4轴力NF为杆件任一横截面上的内力，其作用线与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心。这种内力称为轴力，用NF表示。若在分析时取右段为脱离体(如图2.4(c)所示)，则由作用与反作用原理可知，右段在截面上的轴力与前述左段上的轴力数值相等而指向相反。当然，同样也可以从右段的平衡条件来确定轴力。对于压杆，同样可以通过上述过程求得其任一横截面上的轴力NF。为了研究方便，给轴力规定一个正负号：当轴力的方向与截面的外法线方向一致时，杆件受拉，规定轴力为正，称为拉力；反之，杆件受压，轴力为负，称为压力。当杆受到多个轴向外力作用时，在杆不同位置的横截面上，轴力往往不同。为了形象而清晰地表示横截面上的轴力沿轴线变化的情况，可用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，称为基线，用垂直于轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，正的轴力(拉力)画在基线的上侧，负的轴力(压力)画在基线的下侧。这样绘出的轴力沿杆件轴线变化的图线，称为轴力图。【例题2.1】一等直杆所受外力如图2.5(a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图2.5(b)所示)，假定轴力N1F为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程0xF，N1300F得N130kNF结果为正值，故N1F为拉力。材料力学10同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如图2.5(c)所示)为N2304070(kN)F在求CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2.5(d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程0xF，N330200F得N3302010(kN)F结果为负值，说明N3F为压力。同理，可得DE段内任一横截面上的轴力N4F为N420kNFN1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(a)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(b)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(c)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(d)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(e)N1FN2FN3FN4(f)(a)30kNEDCBA20kN10kN70kN30kN20kN80kN40kN30kNF30kN40kN(b)(c)30kN20kN20kN(e)(d)30kN(f)图2.5例题2.1图按上述作轴力图的规则，作出杆件的轴力图(如图2.5(f)所示)。N,maxF发生在BC段内的任一横截面上，其值为70kN。第2章轴向拉伸和压缩11由上述计算可见，在求轴力时，先假设未知轴力为拉力时，则得数前的正负号，既表明所设轴力的方向是否正确，也符合轴力的正负号规定，因而不必要在得数后再注“压”或“拉”字。2.3拉(压)杆内的应力与圣维南原理由上一章知，要判断受力构件能否发生强度破坏，仅知道某个截面上内力的大小是不够的，还需要求出截面上各点的应力。下面首先研究拉(压)杆横截面上的应力。2.3.1拉(压)杆横截面上的应力要确定拉(压)杆横截面上的应力，必须了解其内力系在横截面上的分布规律。由于内力与变形有关，因此，首先通过实验来观察杆的变形。取一等截面直杆，如图2.6(a)所示，事先在其表面刻两条相邻的横截面的边界线(ab和cd)和若干条与轴线平行的纵向线，然后在杆的两端沿轴线施加一对拉力F使杆发生变形，此时可观察到：①所有纵向线发生伸长，且伸长量相等；②横截面边界线发生相对平移。ab、cd分别移至a1b1、c1d1，但仍为直线，并仍与纵向线垂直(如图2.6(b)所示)，根据这一现象可作如下假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，只是相对地沿轴向发生了平移，这个假设称为平面假设。图2.6横截面上的应力根据这一假设，任意两横截面间的各纵向纤维的伸长均相等。根据材料均匀性假设，在弹性变形范围内，变形相同时，受力也相同，于是可知，内力系在横截面上均匀分布，即横截面上各点的应力可用求平均值的方法得到。由于拉(压)杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横截面，且通过截面的形心，而截面上各点处应力与微面积dA之乘积的合成即为该截面上的内力。显然，截面上各点处的切应力不可能合成为一个垂直于截面的轴材料力学12力。所以，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力，设轴力为NF，横截面面积为A，由此可得NFA(2-1)式中，若NF为拉力，则为拉应力，若NF为压力，则为压应力。的正负规定与轴力相同，拉应力为正，压应力为负，如图2.6(c)和图2.6(d)所示。2.3.2拉(压)杆斜截面上的应力以上研究了拉(压)杆横截面上的应力，为了更全面地了解杆内的应力情况，现在研究斜截面上的应力。如图2.7(a)所示拉杆，利用截面法，沿任一斜截面m—m将杆截开，取左段杆为研究对象，该截面的方位以其外法线on与x轴的夹角表示。由平衡条件可得斜截面m—m上的内力F为FF(a)由前述分析可知，杆件横截面上的应力均匀分布，由此可以推断，斜截面m—m上的总应力p也为均匀分布(如图2.7(b)所示)，且其方向必与杆轴平行。设斜截面的面积为A，A与横截面面积A的关系为/cosAA。于是0coscosFFpAA(b)图2.7斜截面上的应力式中，0FA为拉杆在横截面(0)上的正应力。将总应力p沿截面法向与切向分解(如图2.7(c)所示)，得斜截面上的正应力与切应力分别为20coscosp(c)0sinsin22p(d)上列两式表达了通过拉压杆内任一点处不同方位截面上的正应力和切应力随截面方位角的变化而变化。通过一点的所有不同方位截面上的应力的集合，称为该点处的应力状态。由(c)、(d)两式可知，在所研究的拉杆中，一点处的应力状态由其横截面上的正应力0即可完全确定，这样的应力状态称为单轴应力状态。关于应力状态的问题将在第2章轴向拉伸和压缩13第7章中详细讨论。由(c)、(d)两式可知，通过拉压杆内任一点不同方位截面上的正应力和切应力，随角作周期性变化。(1)当0时，正应力最大，其值为max0(e)即拉压杆的最大正应力发生在横截面上。(2)当45°时，切应力最大，其值为0max2(f)即拉压杆的最大切应力发生在与杆轴线成45°的斜截面上。为便于应用上述公式，现对方位角与切应力的正负号作如下规定：以x轴为始边，方位角为逆时针转向者为正；斜截面外法线On沿顺时针方向旋转90°，与该方向同向的切应力为正。按此规定，如图2.7(c)所示的与均为正。当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图可求得其最大轴力N,maxF，那么杆内的最大正应力为N,maxmaxFA(2-2)最大轴力所在的横截面称为危险截面，危险截面上的正应力称为最大工作应力。【例题2.2】一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。已知40kNP。试求荷载引起的最大工作应力。解：首先作柱的轴力图，如图2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。Ι、ΙΙ两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得3N1114010N0.69(MPa)(240mm)(240mm)FA(压应力)3N22212010N0.88(MPa)(370mm)(370mm)FA(压应力)由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为0.88MPa，是压应力。【例题2.3】一钻杆简图如图2.9(a)所示，上端固定，下端自由，长为l，截面面积为A，材料容重为。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。解：应用截面法，在距下端距离为x处将杆截开，取下段为脱离体(如图2.8(b)所示)，设下段杆的重量为()Gx，则有()GxxA(a)设横截面上的轴力为N()Fx，则由平衡条件0xF，N()()0FxGx(b)将(a)式值代入(b)式，得N()FxAx(c)即N()Fx为x的线性函数。当0x时，N(0)0F材料力学14当xl时，NN,max()FlFAl(a)(b)(a)(b)(c)图2.8例题2.2图图2.9例题2.3图式中N,maxF为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c)所示。那么横截面上的应力为N()()FxxxA(d)即应力沿杆长是x的线性函数。当0x时，(0)0当xl时，max()ll式中max为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。【例题2.4】气动吊钩的汽缸如图2.10(a)所示，内径180mmD，壁厚8mm，气压2MPap，活塞杆直径10mmd，试求汽缸横截面B—B及纵向截面C—C上的应力。解：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应力。(1)求横截面B—B上的应力。取B—B截面右侧部分为研究对象(如图2.10(c)所示)，由平衡条件0xF，22N()04DdpF当Dd时，得B—B截面上的轴力为2N4FDpB—B截面的面积为2()()ADDD第2章轴向拉伸和压缩15那么横截面B—B