人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)

人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）1/18一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1.理解一元二次方程定义；2.会解一元二次方程；3.会根据根的判别式24bac判断一元二次方程的根的情况；4.会列一元二次方程解决实际问题.【知识网络】解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,axbxcaabc（其中是常数.2、在一般式中，当b＝0时，则有220c00axcaxbx或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】例1判断下列关于x的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)230;(4)5;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)3340:1(10)0.(0)xxxxyxxxxxxxxxabxabxxxxxpxqxmp（）分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）2/18方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.mmmxmx（（1）m为何值时，此方程为一元二次方程？（2）m为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0naxbxc的方程，当n＝2且a≠0时为一元二次方程；当a＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m－2＝2时，m＝4，这时5)(3)0.mm（当m＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m30mmmm当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m5m3mmm（得＝或＝，又因为3，∴当m＝5时，此方程为一元一次方程.例3为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x米，则原来计划每天加固河堤（x－20）米.根据题意德22402240220xx，整理，得22022400xx【知识运用】一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（）A.20xbxc`B.20axbxcC.20()axbxcaoD.以上都不对人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）3/182．下列方程为一元二次方程的有（）A.21102xxB.252axbxcC.219xD.x+y=03.关于x的方程232232(mnmxmxmxnxpxq其中），经化简整理，化为200)axbxca（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A.m－n，p，qB.m－n，－p，qC.m－n，－p，－qD.m－n，p，－q4．将一元二次方程21x2x302－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（）A.2x2x30－B.2xx60－4C2xx60－4－D2xx60+4二、填空题5．方程24x0是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x21)x0mm（－(不是关于x的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x的一元二次方程；7.若方程22x3x1kx是一元二次方程，则k的取值范围是_________;三、解答题8．若方程1(3)x230kkx是关于x的一元二次方程，求k的值.9．若关于x的一元二次方程22(a-1)x+x+a10的一个根是0，求a的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）4/18第2讲配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成2b(0)xab的形式，则x＝(0)abb.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a2()abbab，把一元二次方程转化为2()(0)xabb，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1用配方法解关于x的一元二次方程：x0pxq2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2xxpq，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：2222221212x,x(),244qx,244qp400,44q4qx,;22(2)p40x23p40pxqpppxqpppqppppxpqxq222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得＝＝当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2用配方法解方程（1）2x6x50；（2）24x7x20分析：方程经过移项，配方后变为形如2().axbc的方程人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）5/18解：（1）（2）移项，得24x7x2化二次项系数为1，例3试证：不论x为何实数，多项式424224124xxxx的值总大于的值.分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法.解：∴多项式424224124xxxx的值总大于的值.【知识运用】一、选择题1．已知代数式2224x228x5xx的值为3，则代数式的值为（）A.5B.－5C.5或－5D.02．将二次三项式22x4x6进行配方，正确的结果是（）A.242（x-1）B.242（x-1）C.222（x-2）D.222（x-2）3．方程2(1)9x的解是（）221265,6959,314314,314,314xxxxxxx2移项，得配方，得即（x＋）2222127717x()()4828717717xx86488717717xx8888717717xx88x得即（）＝，＝＝+，＝-＝，＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x(1)20(241)(24)0xxxxxxxxxxxxxx对于任何实数，总有即人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）6/18A.2xB.4xC.122,4xxD.122,4xx4.已知11120,19,21202020axbxcx，则代数式222abcabbcac的值是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题5．224___9(___3)x6．将二次三项式2x2x2进行配方，其结果等于__________.7.已知m是方程2xx20的一个根，则代数式2mm的值等于______.三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;xx221(2)20;33yy2(3)0.40.81;xx2(4)2(31)230;yy人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）7/189.用配方法证明21074xx的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2003年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2002年全年手机产量的80％，预计到2004年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）8/18第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程22212bb4ac00),b4ac0x.2aaxbxca，－（当－时，＝2．2b4ac0当=－，方程可用公式法求解；当2b4ac0当=－时，方程无解.【典型例题】例1用公式法解下列方程21x43100x（）2(2)221xx(3)(1)(1)22xxx分析：首先把每个方程化成一般式，确定a、b、c的值，在2b4ac0－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(13,21313,.22(3)2210,1,2,1,4224?1?(222323,223,23.(4)xxabcbacxxxxabcbacxx移项，得-1)=120,-212x=22原方程可化为（）-1)=120,-（-22）12x=222221210,1,1,1,414?1?(15,21515,.22xxabcbacxx将原方程可化为-1)=50,x22(1)1,4,10,4(43411080,(43)84322232212x232x232.abcbacx1=2）－＝，，人教版九年级数学一元二次方程全章知识点专题复习（含答案）9/18例2阅读下面一段材料，并解答问题.22222240(0),240,44200(0,,,)bbacaxbxcaxabacbacbbacxaaaxbxcaabc我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式必须符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当2222121244)2,(1)10,:4,?,,?:,bacbbacakxxkxkxxxxk注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根.根据上面得出的结论,请你解答下列问题:已知关于的方程试求⑴为何值时方程有两个实数根⑵若方程的两个实数根满足则为何值分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k的取值,对1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,xxkkkkxxxxxxxxxxxkkx1于⑵中需分类讨论解方程有实数根故0,即-(化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x例3某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1)当三级污水处