【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第4讲 定积分的概念与微积分基本定理

1第4讲定积分的概念与微积分基本定理【2013年高考会这样考】1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．【复习指导】定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．基础梳理1．定积分(1)定积分的定义及相关概念如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx.在abf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的性质①abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)．②ab[f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx.③abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中acb)．2．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3．定积分的应用(1)定积分与曲边梯形的面积2定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．三条性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．设阴影部分面积为S.①S＝abf(x)dx；②S＝－abf(x)dx；③S＝acf(x)dx－cbf(x)dx；④S＝abf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dx.(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝abv(t)dt.3双基自测2．(2011·湖南)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()．A.12B．1C.32D.3解析S＝∫π3－π3cosxdx＝2∫π30cosxdx＝|2sinxπ30＝3.答案D4．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()．A.1πB.2πC.π4D.3π双基自测1．(2011·福建)01(ex＋2x)dx等于()．A．1B．e－1C．eD．e＋1解析01(ex＋2x)dx＝ex＋x210＝(e＋1)－1＝e.答案C3．(2011·山东)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()．A.112B.14C.13D.712解析由y＝x2，y＝x3，得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112.答案A解析阴影部分的面积S＝0πsinxdx＝－cosxπ0＝－(－1－1)＝2，矩形的面积为2π.概率P＝阴影部分的面积矩形面积＝22π＝1π.故应选A.答案A4考向一定积分的计算【例1】计算下列积分当原函数较难求时，可考虑由其几何意义解得．5．(人教A版教材习题改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________．解析s＝12(3t＋2)dt＝32t2＋2t21＝32×4＋4－32＋2＝10－72＝132(m)．答案6.5m5(5)由y＝xcosx－5sinx为奇函数－11(xcosx－5sinx＋2)dx＝1－12dx＝2x1－1＝4.(1)利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．(2)根据积分的几何意义可利用面积求积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则＝0.6考向二利用定积分求面积【例2】求下图中阴影部分的面积．[审题视点]观察图象要仔细，求出积分上下限，找准被积函数．解解方程组y＝x－4，y2＝2x，得x＝2y＝－2，或x＝8y＝4S阴影＝082xdx－8＋02|－2x|dx＋2＝223x3280＋223x3220－6＝18.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【训练2】求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．解由y＝x，y＝2－x，得交点A(1,1)；由y＝2－xy＝－13x得交点B(3，－1)．7故所求面积S＝01x＋13xdx＋132－x＋13xdx＝23x32＋16x210＋2x－13x231＝23＋16＋43＝136.考向三定积分的应用【例3】一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：(1)在t＝4s的位置；(2)在t＝4s内运动的路程．[审题视点]理解函数积分后的实际意义，确定被积函数．解(1)在时刻t＝4时该点的位置为04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m)，即在t＝4s时刻该质点距出发点43m.(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4s时的路程为S＝01(t2－4t＋3)dt＋|13(t2－4t＋3)dt|＋34(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t10＋|13t3－2t2＋3t31|＋13t3－2t2＋3t43＝43＋43＋43＝4(m)，即质点在4s内运动的路程为4m.由s＝v0t＋12at2通过求导可推出v＝v0＋at，反之根据积分的几何意义，由v＝v(t)(v(t)≥0)可求出t∈[a，b]时间段内所经过的路程．【训练3】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()．A．在t1时刻，甲车在乙车前面8B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解析可观察出曲线v甲，直线t＝t1与t轴围成的面积大于曲线v乙，直线t＝t1与t轴围成的面积，故选A.答案A难点突破8——积分的综合应用定积分的考查在试卷中不是必然出现的，一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，在近两年的高考中，考查的一般是定积分的计算和定积分在求曲边图形面积中的应用等，如2011年福建卷，陕西卷考查的是定积分的计算，新课标全国卷、湖南卷、山东卷考查的是定积分求曲边形的面积．一、积分的几何意义【示例】►已知r0，则r－rr2－x2dx＝________.二、积分与概率【示例】►(2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为__________．9