77【信号与系统课件】【陈后金版】【西安交通大学】【梁志虎】【8_系统的时域分析_4】

梁志虎lzh@[e-mail]系统的时域分析系统的时域分析系统的时域分析系统的时域分析线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性离散时间系统的离散时间系统的单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应h[k]定义单位脉冲响应h[k]定义h[k]的求解迭代法等效初始条件法阶跃响应g[k]的求解阶跃响应g[k]的求解单位脉冲响应单位脉冲响应h[k]定义定义一、一、单位脉冲响应单位脉冲响应h[k]定义定义单位脉冲序列[k]作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应,用符号h[k]表示。表示。对N阶LTI离散时间系统，h[k]满足方程][][jkbikhamn对N阶LTI离散时间系统，h[k]满足方程][][00jkbikhajjii二二h[k]的求解的求解二、二、h[k]的求解的求解求解方法求解方法::11))迭代法迭代法22))等效初始条件法等效初始条件法将[kj]对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。效初始条件。等效初始条件由差分方程和h[1]=h[2]=等效初始条件由分方程和[][]=h[n]=0递推求出。例1描述某离散因果LTI系统的差分方程为][]2[2]1[3][kfkkk求系统的单位脉冲响应h[k]。][]2[2]1[3][kfkykyky解：h[k]满足方程][]2[2]1[3][kkhkhkh11))求等效初始条件求等效初始条件对于因果系统有h[1]=h[2]=0，代入上面方程可推出对于因果系统有h[1]h[2]0，代入上面方程可推出1]2[2]1[3]0[]0[hhh3]1[2]0[3]1[]1[hhh可以选择h[0]和h[1]或h[1]和h[0]作为初始条件注意：选择初始条件的基本原则是必须将[k]的作用体现在初始条件中可以选择h[0]和h[]或h[]和h[0]作为初始条件[k]的作用体现在初始条件中例1描述某离散因果LTI系统的差分方程为][]2[2]1[3][kfkkk求系统的单位脉冲响应h[k]。][]2[2]1[3][kfkykyky解：h[k]满足方程][]2[2]1[3][kkhkhkh22))求差分方程的齐次解求差分方程的齐次解特征方程为0232rr特征根为齐次解的表达式为2,121rr0,)2()1(][21kCCkhkk代入初始条件，有01]1[CCh1]0[02]1[2121CChCCh解得C1=1，C2=2][])2(2)1([][kukhkk三三单位阶跃响应单位阶跃响应三、三、单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃序列u[k]作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应用符号g[k]表示求解方法求解方法::的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号g[k]表示。1)迭代法2)经典法2)经典法3)利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系knnhkg][][h[k]=g[k]g[k1]n例2求例1所述系统的单位阶跃响应g[k]。例1若描述某离散时间LTI系统的差分方程为][]2[2]1[3][kfkykyky例1所述系统的单位脉冲响应为解解][]2[2]1[3][kfkykyky例1所述系统的单位脉冲响应为解：解：h[k]=[(1)k+2(2)k]u[k]利用h[k]与g[k]的关系，可得h[k][(1)+2(2)]u[k]nknkkg)2(2)1(][nn00][]1)2(4)1(1[kukk][]6)2(3)1(2[ku卷积和的计算与性质卷积和的计算与性质图解法计算卷积和图解法计算卷积和列表法计算卷积和列表法计算卷积和卷积和的性质卷积和的性质卷积和的性质卷积和的性质交换律交换律交换律交换律结合律结合律分配律分配律分配律分配律位移特性位移特性差分与求和特性差分与求和特性差分与求和特性差分与求和特性图解法计算卷积和图解法计算卷积和一、图解法计算卷积和一、图解法计算卷积和卷积和的定义为卷积和的定义为][][][][nkhnfkhkf计算步骤：计算步骤：n11))将f[k]、h[k]中的自变量由k改为n；22))把其中一个信号翻转，如将h[n]翻转得h[n]；))把其中个信号翻转，如将[]翻转得[]；33))把h[n]平移k，k是参变量。k0图形右移，k0图形左移。左移。44))将f[n]与h[kn]相乘；55))对乘积后的图形求和55))对乘积后的图形求和。例例11已知f[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=f[k]*h[k]计算y[k]=f[k]*h[k]1h[k]或h[n]1k0knf[k]1或f[n]k10knh[-n]10n例1已知f[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=f[k]*h[k]计算y[k]=f[k]*h[k]f[n]h[-n]110n0k0,f[n]与h[kn]图形没有相遇y[k]=01f[n]h[k-n],k00nk0k例1已知f[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=f[k]*h[k]计算y[k]=f[k]*h[k]f[n]h[-n]110n0kk0,f[n]与h[kn]图形相遇nkknaky0][1f[n]h[k-n],n0k0nk例1已知f[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=f[k]*h[k]计算y[k]=f[k]*h[k]k0，f[n]与h[kn]图形没有相遇y[k]=0k0，f[n]与h[kn]图形相遇nkkaky][n0y[k]k10k例2计算101][NkkRy[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0][kRNRN[k]或RN[k]k1nN-10R[-n]1RN[n]n-(N-1)0例2计算101][NkkRy[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0][kRNRN[n]R[k-n]k0k0时,RN[n]与RN[kn]图形没有相遇y[k]=01RN[kn],k0nN-10k-(N-1)k0kN1时重合区间为[0k]kRN[n]RN[k-n],10Nk0kN1时，重合区间为[0，k]11][0kkykn1nN-10k-(N-1)k例2计算101][NkkRy[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0][kRNN1k2N2时，重合区间为[k(N1)，N1]N1RN[n]R[k]221NkNkNkyNNkn121][1)1(1RN[k-n],221NkNnN-10k-(N-1)kk2N2时，RN[n]与RN[kn]图形不再相遇y[k]=0例2计算101][NkkRy[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0][kRNk0时,RN[n]与RN[kn]图形没有相遇y[k]=00kN1时重合区间为[0k]11][kkyk0kN1时，重合区间为[0，k]11][0kkynN1k2N2时，N1N1k2N2时，重合区间为[k(N1)，N1]kNkyNkn121][)1(k2N2时，RN[n]与RN[kn]图形不再相遇y[k]=0RN[k]*RN[k]NN34N-101k2N-22123二列表法计算序列卷积和二列表法计算序列卷积和二、列表法计算序列卷积和二、列表法计算序列卷积和设f[k]和h[k]都是因果序列，则有0][][][][][knkhnfkhkfkyk0],[][][][][0knkhnfkhkfkyn当k0时]0[]0[]0[hfy当k=0时，]0[]0[]0[hfy当k=1时，]0[]1[]1[]0[]1[hfhfy当k=2时，当k=3时，]0[]2[]1[]1[]2[]0[]2[hfhfhfy]0[]3[]1[]2[]2[]1[]3[]0[]3[hfhfhfhfy当时][][][][][][][][][ffffy以上求解过程可以归纳成列表法。以上求解过程可以归纳成列表法。二列表法计算序列卷积和二列表法计算序列卷积和二、列表法计算序列卷积和二、列表法计算序列卷积和将的值顺序排成行将的值顺序排成列行将h[k]的值顺序排成一行，将f[k]的值顺序排成一列，行与列的交叉点记入相应f[k]与h[k]的乘积，对角斜线上各数值就是f[]h[k]的值对角斜线上各数值就是f[n]h[kn]的值。对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。例3计算与}2,3,0,2,1{][kf}3,2,4,1{][kh的卷积和。解解::1023f[-2]f[1]f[0]f[2]f[-1]2h[-1]102312h[0]4081248h[1]204624h[2]306936}6,13,14,20,10,10,6,1{][ky例4计算与][][kukfk][][kukhk的卷积和。][][f][][解解::][*][kukukkk][][nkununknn00knknnk11[]kkuk000nk(1)[]kkauk)(e)(etututt)()ee(1tutt)(e)(etutu)(etutat三卷积和的性质三卷积和的性质三、卷积和的性质三、卷积和的性质交换律交换律::f[k]h[k]=h[k]f[k]结合律结合律::f[k]h1[k]h2[k]f[k]h1[k]}h2[k]结合律结合律::f[]1[]2[]f[]1[]}2[]分配律分配律::f[k]h1[k]+h2[k]}f[k]h1[k]+f[k]h2[k]三卷积和的性质三卷积和的性质三、卷积和的性质三、卷积和的性质位移特性：位移特性：f[k][kn]=f[kn]推论推论推论：推论：若f[k]h[k]=y[k]，则f[kn]h[kl]=y[k(n+l)]f[kn]h[kl]=y[k(n+l)]差分与求和特性：差分与求和特性：若f[k]h[k]=y[k]][][*][][*][kykhkfkhkf差分与求和特性：差分与求和特性：若f[k]h[k]y[k]][][*])[(][*][nykhnfnhkfknknkn例5计算与}4,2,0,1{][kf}3,5,4,1{][kh的卷积和。},,,{][f},,,{][解解::]1[4][2]2[][kkkkf利用位移特性][*]}1[4][2]2[{][*][khkkkkhkf]1[4][2]2[khkhkh]1[4][2]2[khkhkh}12,26,26,15,7,4,1{][*][][khkfky冲激响应冲激响应表示的系统特性表示的系统特性级联系统级联系统的冲激响应的冲激响应级联系统级联系统的冲激响应的冲激响应并联系统并联系统的冲激响应的冲激响应并联系统并联系统的冲激响应的冲激响应因果系统因果系统稳定系统稳定系统级联系统级联