7、作图,轨迹相交法(中速)

数学上实数和虚数都是真实的数，奋斗中成功与失败都是生命的歌！（1）距两定点距离等远的点的轨迹，是连线段的中垂线（2）距定角的两边距离相等的点的轨迹，是定角的平分线（3）距两定平行线等远的点的轨迹，是其公垂线段的中垂线（4）距定直线之距为定长的轨迹，是距定直线为定长的两平行线（5）距定点等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆（6）对定线段的视角为定角的点的轨迹，（0﹤α≦90°）是以定线段为弦，内接角为定角的两段弧6)对定线段的视角为定角的点的轨迹是以定线段为弦内接角为定角的两段弧.ABɑɑ§1基本知识1）锻炼思维能力；2）提供素材；(求作弦，使其被圆内定点平分）3）绘图基础。（机械制图、设计图纸）1）工具：直尺、圆规、（无刻度）（限制了工具，有些图就作不出）。2）作图公法：（1）过两点可作一直线；（2）已知圆心和半径可作圆；（3）已知直线和圆可求交点；另外规定平面上可以任意取点3）作图工具的功能：（1）画线：用直尺作公法1中的直线；（2）作圆：用圆规作公法2中的圆；（3）求交点：用直尺和圆规作公法3中的交点(相当于证明题中的定理)1)作一个角等于给定角2）已知：（1）三边；（2）两边及夹角；（3）两角及一边；求作三角形3）过一点作已知直线的垂线4）过一点作已知直线的平行线5）平分一角6）平分一弧7）作定线段的中垂线8）分一线段成若干等分9）作线段或角的和与差10）已知弓形的弦长和其内接角，求作弓形弧11）内分或外分一已知线段成已知比12）作三已知线段的第四比例项（a:b=c:x)13）作两已知线段a、b的第三比例项（a:b=b:x)14)作两已知线段a、b的比例中项（a:x=x:b)15)已知线段a、b,求作线段：x=√a+b16)已知线段a、b,求作线段：x=√a-b（课本上就这16条，有些教材上是27条，还有33条的）（现行初中教材的要求是成法中的作角平分线、中垂线、三角形等）2222例1：分一线段成若干等分例2：作三已知线段的第四比例项（a:b=c:x)例3：作两已知线段a、b的比例中项（a:x=x:b)例4：求作已知圆的圆心。acbxa+b。o例5：已知弧的弦长和其内接角，求作弧先作底边长为a的△，再作其中两边的中垂线得外接圆心，最后在外接圆上处于BC间的弧即是。已知:定长线段a、定角α求作：弧BC，使其BC=a,内接角∠BAC=α作法：（1）作∠B1AC1=α（2）以BA1上一点B为圆心，作圆⊙B（a）设交AC1于C，（3）连BC，作BC、AB的中垂线设交点为O，（4）作⊙O（OB）即得（注意：虽然能作无穷个满足以上条件的△，但这些△的外接圆是同一个）B1C1AαBCOαa一道看似简单的作图成法：4）过一点作已知直线的平行线.(方法很多，用不同的定理产生不同的方法）作法：（1）作⊙A设交a于B、C（2）作⊙C（BC）设交a于D（3）作⊙C（AB）和⊙D（AB）设交于E（与A同侧）（4）连AD即得.AaBCD。E1）定位：图必须作在指定位置；2）不定位：只要作出图，位置不限；3）定位作图一个图一个解，不定位作图作出的只要全等只算一个解解作图题的步骤：（1）分析：假设图已作出，研究已知，得出线索。（象证明题中的分析）（2）作法：根据线索，按步设计作图方法（每一步就是一个作图成法或公法）（3）证明：验证所作图形确实合乎条件（4）讨论：存在性，解的情况（多寡，定与不定）例：已知两边及其中一边的对角，求作△已知:定长线段b、c,定角α求作:△ABC使AB=c,AC=b,∠B=α分析：假设△ABC已作出，（如图）先作∠A1BC1=α再截AB=c，再截AC=b作法：（１）作∠A1BC1=α（２）作⊙B（C）设其交BA1于A（３）作⊙A（b）设其交BC1于C（４）连ＡＣ则△ABC为所求证明：由作法知：AB=c,AC=b,∠B=α满足条件，所以△ABC为所求ABCɑbcA1C1为什么要讨论，是因为因为没有刻度，就如同老板让你买个电视，既不给你说价钱，又不给你说大小，你要问就会开除你，你只好把各种情况都说给他：如果你给我的钱数少于500元，那我买不来，如果多于500元，则当……当……ABCɑbc讨论：1、若ɑ为锐角，则（1）bh时无解(h=csinɑ)（2）b=h时一解(3)hbc时二解（一为锐角△，一为钝角△）（4）c=b时一解，等腰△（5）bc时一解(另一钝角△不合条件）2、若ɑ为直角，则（1）b≤c时无解(2)bc时一解(所成二直角△全等）3、若ɑ为钝角，则（1）b≤c时无解(2)bc时一解(是钝角△）h下面介绍作图的具体方法：通过分析发现，要完成作图，关键是某个点的位置的确定，而此点是两图形（轨迹）的交点（线线、线圆、圆圆），一般满足两个条件，暂时放弃其中一个，则因图形不定而形成轨迹，再放弃另一个，又形成另一轨迹，两轨迹的交点便是这个点的位置。例1：已知底边长,顶角的大小,底边上的高,求作△（课本习题）已知:定长线段a、ha,定角α求作:△ABC使BC=a∠A=αBC边上的高AH=ha分析：假设△ABC已作出，关键点Ａ，满足条件：①∠A=α②AH=ha放弃条件①轨迹为BC的两条平行线放弃条件②轨迹为两段弧其交点便是A（从图上看能作出四个三角形但因为是不定位作图，所以只算一解。）ＡＢＣαhaaH作法：（１）作线段ＢＣ=a（２）作到BC之距为ha的平行线L（３）作弧BC(α)，设L和弧BC(α)的交点为Ａ（４）连ＡＢ，ＡＣ则△ABC为所求证明：由作法知BC=a∠A=αBC边上的高AH=ha满足条件，所以△ABC为所求讨论：当L和弧BC(α)有交点时，有一解当L和弧没有交点时，无解BCLAa分析步骤：1）先找关键点2）再写出关键点满足的两个条件3）放弃条件1得一条轨迹4）放弃条件2又得一条轨迹5）两轨迹交点即是。例2：已知底边长,顶角的大小,其余二边的平方和,求作△已知:定长线段a、m定角α求作:△ABC使BC=a∠A=αAB+AC=m分析：假设△ABC已作出，（如图）关键点Ａ，满足条件①∠A=α②AB+AC=m放弃①轨迹为一圆（半径为中线长=）放弃②轨迹为两段弧其交点便是A２２２ＡＢＣα２２２。22122maM作法：（１）作线段ＢＣ=a取ＢＣ中点Ｍ（２）作圆⊙Ｍ（)（３）作弧BC(α),设圆和弧的交点为Ａ（４）连ＡＢ，ＡＣ则△ABC为所求证明：由作法知BC=a∠A=αAB+AC=m满足条件，所以△ABC为所求讨论：当圆和弧有交点时，有一解当圆和弧没有交点时，无解２２２BC。A22122maM例3：已知底边长,顶角的大小,其余二边的和,求作△（课本习题）已知:定长线段a、m，定角α求作:△ABC，使BC=a，∠A=α，AB+AC=m分析：假设△ABC已作出（如图）关键点Ａ，满足条件①∠A=α②AB+AC=m放弃②轨迹为两弧放弃①轨迹为?（椭圆？）ＡＢＣα分析：假设△ABC已作出，（如图）关键点A，满足条件(1)∠A=α(2)AB+AC=m放弃（2）轨迹为两弧放弃（1）轨迹为?关键是确定D确定D继续用轨迹相交法：D满足条件（１）∠D=α/2（２）DB=m放弃（1）轨迹为一圆放弃（2）轨迹为两弧ＡＢＣαDα2作法：（１）作线段ＢＣ＝a（２）作圆⊙B（m)（３）作弧BC(α/2),设圆和弧的交点为D（４）连ＢD，ＣD，作CD的中垂线交BD于A（5）连AＣ，则△ABC为所求证明：由作法知BC=a∠A=α，AB+AC=m满足条件，所以△ABC为所求讨论：当圆和弧有交点时，有一解当圆和弧没有交点时，无解BDACＡＢＣHhaMma练习：已知底边长,底边上的高、中线，求作△已知:定长线段a、ha、ma求作:△ABC使BC=a,BC边上的高AH=ha,中线AM=ma分析：A既在距BC为ha的两平行线上又在⊙M（ma）上练习:（因时间而定）2、已知底边的长，顶角的大小，另一边上中线的长求作三角形。已知:定长线段a、mb,定角α求作:△ABC使BC=a,∠B=αAC边上的中线BM=mb分析：假设△ABC已作出（如图）（课本例题）ＡMCBɑ分析：假设△ABC已作出（如图）关键点Ａ，满足条件（１）∠A=α（２）BM=mb放弃（２）轨迹为两段弧放弃（１）轨迹为?其实条件BM=mb不是关于A点的，是关于B点的，A点的要继续挖掘：加倍延长CB到O，则O为定点，而OA=2BM=2mb为定值，所以A又在⊙O（2mb）上ＡMBɑoC下课！