2018年考研数学二试题与答案解析(完整版)

Borntowin2018年考研数学二试题与答案解析（完整版）——跨考教育数学教研室一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.若2120lim1xxxeaxbx，则A.1,12abB.1,12abC.1,12abD.1,12ab【答案】B【解析】22022002lnlim21limlim22201limxxxxxxxeaxbeaxbxeaxbxeaxbxxxxxxeaxbxeee02lim02xxeaxbx00lim20112lim022xxxxeaxbbeaxbax2.下列函数中，在0x处不可导的是A.sinfxxxB.sinfxxxC.cosfxxD.cosfxx【答案】D【解析】A可导：-0000sinsinsinsin0limlim0,0limlim0xxxxxxxxxxxxffxxxxB可导：-0000sinsinsinsin0limlim0,0limlim0xxxxxxxxxxxxffxxxxC可导：22000011cos1cos1220limlim0,0limlim0xxxxxxxxffxxxxBorntowinD不可导：000011-cos1cos111220limlim,0limlim2200xxxxxxxxffxxxxff3.设函数2,11,0,,10,1,0,0axxxfxgxxxxxbx若fxgx在R上连续，则A.3,1abB.3,2abC.3,1abD.3,2ab【答案】D【解析】000000111111limlimlim101limlimlim1112limlimlim121limlimlim11221xxxxxxxxxxxxfxgxfxgxfxgxfxgxbbbfxgxfxgxaafxgxfxgxa3a4..设函数fx在0,1上二阶可导，且100,fxdx则A.当0fx时，102fB.当0fx时，102fC.当0fx时，102fD.当0fx时，102f【答案】D【解析】A错误：11000,10111,2,022fxfxdxdxfxxfxB错误：100212111111,033243120,20,fxdxdxfxxffxxBorntowinC错误：1100111,0220,10,2fxdfxxxfxdxfxD正确：由0fx可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出102f5.设2222222211,,1cos,1xxxMdxNdxKxdxxe则A.MNKB.MKNC.KMND.KNM【答案】C【解析】222222(1)11,1cos1,22()1,(0)0,()10,()0;,0()0221,()01NM,C22xxxxMdxdxxxxKMfxxeffxexfxxfxxxfxe时，所以令当时，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选6.2202121011xxxxdxxydydxxydyA.53B.56C.73D.76【答案】C【解析】如图,220212107(1)(1)(1)3xxDxxDDdxxydydxxydyxydxdydxdyS.Borntowin7.下列矩阵中，与矩阵110011001相似的为A.111011001B.101011001C.111010001D.101010001【答案】A【解析】方法一：排除法令110011001Q，特征值为1,1,1，2rEQ选项A：令111011001A，A的特征值为1,1,1，0110012000rEAr选项B：令101011001B，B的特征值为1,1,1，0010011000rEBr选项C：令111010001C，C的特征值为1,1,1，0110001000rECr选项B：令101010001D，D的特征值为1,1,1，0010001000rEDrBorntowin若矩阵Q与J相似，则矩阵EQ与EJ相似，从而rEQrEJ，故选（A）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）令110010001P，1110010001P1110111011011001001PP，所以110111011011001001与相似故选（A）8.设,AB为n阶矩阵，记()rX为矩阵X的秩，(,)XY表示分块矩阵，则A.()().rAABrAB.()().rABArAC.()max{()()}.rABrArB，D.()().TTrABrAB【答案】（A）【解析】(,)(,)[(,)]()rEBnrAABrAEBrA故选（A）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.2lim[arctan(1)arctan]xxxx____________.【答案】1【解析】原式221lim1,(,1)1xxxx拉格朗日中值定理.10.曲线22lnyxx在其拐点处的切线方程是__________________.【答案】43yx【解析】22lnyxx，定义域为{0}xx，2'2yxx，22''2yx，令''0y，则01x，由于0x，故01x，故拐点为(1,1)，0'()4yx，则过拐点(1,1)的切线方程为14(1)yx即43yx.Borntowin11.25143dxxx________________________.【答案】1ln22【解析】25143dxxx51(3)(1)dxxx5111()231dxxx513ln21xx1353limlnln2151xxx1ln2212.曲线33cossinxtyt，在4t对应点处的曲率为______________.【答案】23【解析】22sincos'tan3cos(sin)ttyttt，4'1ty，2244sec1''3cossin3cossinttytttt，45142''323()2ty，3322242''233(1')(11)yky.13.设函数(,)zzxy由方程1lnzzexy确定，则1(2,)2zx____________.【答案】14【解析】根据题意，得1z(2,)12，对方程两边同时对x偏导数并讲点代入，得1(2,)2zx14.14.设A为3阶矩阵，123,,为线性无关的向量组.若11232A，2232A，323A，则A的实特征值为_______________.【答案】2【解析】123123123200(,,)(,,)(,,)111121AAAABorntowin123,,线性无关，123,,P可逆，1200111121PAPBAB与相似，特征值相等22230EB实特征值2三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分2arctan1xxeedx.【答案】32211(tan1(1)1)23xxxxearceeeC【解析】2222223221arctan1211(arctan1)211211(arctan1)2211=(arctan1)22111=(arctan111)23xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxedeeeeedxeeeeedxeeeedeeeeeeC原式21xxxedee,令221,1,ln(1)xxetetxt3222322(1)211(1)(1)1213321xxxxxettdedttdtttCeeCtte故原式32211(tan1(1)1)23xxxxearceeeC16.（本题满分10分）已知连续函数()fx满足200()()xxftdttfxtdtax.Borntowin（I）求()fx；（II）若()fx在区间[0,1]上的平均值为1，求a的值。【答案】（I）()(22)xxfxeaea；（II）2ea【解析】（I）00020000()()()()()()()()2,()()2,()(2),0(0)02,()(22).xxxxxxxxxxxtfxtdtxtuxfuduufuduftdtxfuduufuduaxxfxfuduaxfxfxafxeaeCxfCafxeaea令则有，两边同时对求导，则有故由于当时，，则综上（II）由于10()1fxdx，则110(22)122(1)1.2xxeeaeadxaaea17.（本题满分10分）设平面区域D由曲线sin(02)1cosxtttyt与x轴围成，计算二重积分(2)Dxydxdy.【答案】235【解析】如图：则2()00()2200220(2)(2)[()][()(())]Dyxyxxydxdydxxydyxyydxxyxyxdx令sinxtt22320(sin)(1)(1cos)35.ttcosttdt18.（本题满分10分）已知常数ln21k，证明：2(1)(ln2ln1)0xxxkx【解析】当01x时,10x.只需证明2ln2ln10xxkx即可.设2ln2ln1,fxxxkx则Bornto