上海高考数学知识点整理(全)

1高考临近给你提个醒集合与简易逻辑1．区分集合中元素的形式：|()xyfx|()yyfx(,)|()xyyfx|()0xfx函数的定义域函数的值域函数图象上的点集方程的根(零点)例1．集合RxxyyM,2，RxxyyN,12，则NM例2．集合RxxyyxM,),(2，RxxyyxN,1),(2，NM例3．集合RaaM,4,32,1，集合RaaN,5,43,2，则NM2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性。例4．已知集合,,lg()Axxyxy，集合yxB,||,0，且BA，则yx3．集合的性质：①任何一个集合P都是它本身的子集，记为PP。②空集是任何集合P的子集，记为P。③空集是任何非空集合P的真子集，记为P。注意：若条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。例5．集合}012|{2xaxxA，如果RA，实数a的取值范围集合的运算：④CBACBA、CBACBA；()()UUUCABCACB、()()UUUCABCACB。⑤BCAACBCBABBAABAUUU。⑥对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为：n2、12n、12n、22n。例6．满足条件5,4,3,2,12,1A的集合A共有个。4．研究集合之间的关系，当判断不清时，建议通过“具体化．．．”的思想进行研究。例7．已知NkkxxM,12，NkkxxN,14，则NM_____。5．补集思想．．．．常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。例8．设函数1222422ppxpxxf在区间1,1上至少存在一个实数C，使20cf，求实数p的取值范围6．命题是表达判断的语句。判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题。①命题的四种形式及其内在联系：原命题：如果，那么；逆命题：如果，那么；否命题：如果，那么；逆否命题：如果，那么；②等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题。③互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题。④当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑。例9．“sinsin”是“”的条件。⑤注意命题“如果，那么”的否定与它的否命题的区别：命题“如果，那么”的否定是“如果，那么”；否命题是“如果，那么”。*例10．“若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是否定是7．常见结论的否定形式：原结论是都是一定p或qp且q大于小于否定形式不是不都是不一定p且qp或q不大于不小于原结论至少一个至多一个至少n个至多n个对所有x都成立对任何x不成立否定形式一个也没有至少两个至多1n个至少1n个存在某x不成立存在某x成立8．充要条件：条件结论推导关系判断结果是的充分条件是的必要条件且是的充要条件在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果。原命题逆命题否命题逆否命题互为逆否互逆互逆互否互否3不等式1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算）①ba且cbca；②推论：ⅰ.abacbc；ⅱ.ba且dcdbca；③0000acbccabacbccacbcc；④推论：ⅰ.0,0abcdacbd；ⅱ.ba且a、b同号11ab；ⅱ.ba0110ab；ⅲ.0,0,ababab；⑤0ba，0mmambab；⑥000babbba；2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）①一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：ⅰ.分解因式找到零点；ⅱ.画数轴标根画波浪线；ⅲ.根据不等号，确定解集；注意点：ⅰ.分解因式所得到的每一个因式必须为x的一次式；ⅱ.每个因式中x的系数必须为正。②绝对值不等式关键去绝对值：ⅰ.xaxaa或)0(a；ⅱ.xaaxa)0(a；ⅲ.22abab；ⅳ.(0)fxgxgxfxgx或xgxf；ⅴ.fxgxgxfxgx；③幂、指、对不等式借助函数单调性去掉幂、指、对符号解不等式：解对数不等式时，应注意些什么问题？（化成同底、利用单调性、注意同解变形）④解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键。而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述⑤对于不等式恒成立问题，常用“函数思想．．．．”、“分离变量思想．．．．．．”以及“图象思想．．．．”。例1．已知不等式04)2(2)2(2xaxa对一切Rx恒成立，求a的取值范围3．基本不等式：①Rba,，则222abab，当且仅当ba时，等号成立。,abR，则2abab，当且仅当ba时，等号成立。4综上，若Rba,，则abbaba22)(222，当且仅当ba时，等号成立。*②若Rba,，则2221122abababab，当且仅当ba时，等号成立。*③1201,11201,xxxxxxxxxx，当且仅当，即时等号成立，当且仅当，即时等号成立。例2．已知正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是例3．函数)21(4294xxxy的最小值为例4．若12yx，则yx42的最小值是例5．正数x、y满足22yx，则yx11的最小值为4．不等式的证明：①比较法：作差→因式分解或配方→与“0”比较大小→②综合法：由因导果。③分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证。④反证法：正难则反。⑤最值法：maxxfa，则)(xfa恒成立；minxfa，则)(xfa恒成立。函数1．九个基本函数必须熟练掌握：强调函数图象．．．．．．和．性质．．正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，幂、指、对函数，三角函数，反三角函数。2．反函数：当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。①求反函数的步骤掌握了吗？ⅰ．解方程，用y表示x；ⅱ．交换x与y，写成反函数的形式；ⅲ．注明反函数的定义域。②你还记得反函数的四个性质吗？ⅰ．互换性；；ⅱ．对称性；ⅲ．单调一致性；ⅳ．还原性。例1．函数xfy过点1,1，则xf4的反函数的图象一定经过点③若原函数()yfx在定义域上单调，则一定存在反函数；但一个函数存在反函数，则此函数不一定单调。你能写出一个具体的函数吗？例如：分段函数：010121xxxxfx或xxf1等。3．函数的要素：定义域、值域、对应法则5①定义域：ⅰ．给出函数解析式，求函数的定义域（即求使函数解析式有意义的x的范围）(1)0)()]([0xfxfy；(2)0)()()(xQyxQxP；(3)0)()(2xPxPyn；(4)0)(,1)(,0)(log)()(xQxPxPyxQxP；(5)ZkkxPxPtgy,2)()]([；(6)ZkkxPxPctgy,)()]([；(7)1)(1)](arcsin[xPxPy；(8)1)(1)](arccos[xPxPy；ⅱ．使实际问题有意义的自变量的范围。例2．锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为ⅲ．求复合函数的定义域：若xf的定义域为ba,，则xgf的定义域由不等式bxga解出；若xgf的定义域为ba,，则xf的定义域相当于bax,时xg的值域；例3．函数)3lg()4()(xxxxf的定义域为例4．若函数xfy的定义域为2,21，则函数xf2log的定义域为例5．若函数12xf的定义域为1,2，则函数xf的定义域为②值域：函数的值域（或最值）有哪几种常用解题方法？ⅰ．二次函数型或可化为二次函数型；ⅱ．单调性；ⅲ．基本不等式；ⅳ．换元法；ⅴ．数形结合；例6．函数1cos3sin22xxy的值域为例7．设x,1a,2a,y成等差数列，x,1b,2b,y成等比数列，则21221bbaa的取值范围是例8．函数xxy22sin19sin的值域为例9．函数xyx5log232的值域为3．函数的基本性质：①奇偶性：ⅰ．定义判断奇偶性的步骤：⑴定义域D是否关于原点对称；⑵对于任意Dx，判断)(xf与)(xf的关系：若)()(xfxf,也即0)()(xfxf(),yfxxD为偶函数6若)()(xfxf,也即0)()(xfxf(),yfxxD为奇函数ⅱ．图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称奇函数；函数图象关于y轴对称偶函数；ⅲ．判断函数的奇偶性时，注意到定义域关于原点对称了吗？ⅳ．如果奇函数)(xfy在0x处有定义，则0)0(f。ⅴ.一个函数既是奇函数又是偶函数，则该函数必为：()0,fxxD(其中定义域D关于原点对称)ⅵ．如果两个函数都是非零函数（定义域相交非空），则有：奇+奇奇；奇+偶非奇非偶；偶+偶偶；奇奇偶；奇偶奇；偶偶偶。②单调性：设任意Dxx21,,且21xx,则)(1xf)(2xf无单调性12()()fxfx减函数1212()()0fxfxxx；12()()fxfx增函数1212()()0fxfxxx；在比较)(1xf与)(2xf大小时，常用“作差法”，比较)(1xf)(2xf与0的大小。ⅰ．奇函数的图象在y轴两侧的单调性一致；偶函数的图象在y轴两侧的单调性相反。ⅱ．互为反函数的单调性一致。ⅲ．增函数+增函数增函数；减函数+减函数减函数。ⅳ．复合函数单调性由“同增异减”判定。例10．函数xxy2log221的单调递增区间为ⅵ．注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用（即如何体现函数的“奇偶性”、“单调性”）例11．已知奇函数xf是定义在2,2上的减函数，若0121mfmf，求实数m的取值范围③最大值和最小值：参见函数的值域当x取12,,nxxx的中位数时，函数12||||||nyxxxxxx取最小值④函数的零点：对于函数()()yfxxD，如果存在实数()ccD，当xc时，()0fc，那么就把xc叫做函数()()yfxxD的零点。注：零点是数；用二分法求零点的理论依据是：①函数fx在闭区间[,]ab上连续；②()()0fafb那么，一定存在(,)cab，使得()0fc。（反之，未必）以下性质不是．．函数的基本性质⑤周期性：对于函数Dxxfy)(，如果存在一个非零常数t，使得对于任意Dx时，恒有)()(xftxf成立，那么函数Dxxfy)(叫做周期函数，非零常数t叫做该函数的周期。7ⅰ．任意Dx，xfaxf，则aT2ⅱ．任意Dx，xfaxf1，则aT2ⅲ.任意Dx,fxafxb,则||Tab例12．定义在R上的偶函数xf满足xfxf2，且在2,3上是减函数，若、是锐角三角形的两个内角，则sinf与cosf的大小关系为*ⅳ．若xf