现代控制理论复习

【例1】设系统的微分方程为:uyyyy67135求系统的状态空间表达式。,解选取yyy,,为状态变量，即yxyxyx321,,则由系统的微分方程得状态空间表达式,即13213322165137xyuxxxxxxxx其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为3213213210016005137100010xxxyuxxxxxx【例2】已知系统传递函数为43215)(23sssssG试求其能控标准型、能观标准型状态空间表达式。解系统的能控标准型实现为ccccccxCBxAxyu式中051,100,234100010cccCBA由式(1-128)得系统的能观标准型实现为ooooooxCBxAxyu式中100,051,210301400oooCBA【例3】已知,求4130AteA运用拉普拉斯变换法求解413)(sssAI)3(23)1(21)3(21)1(21)3(23)1(23)3(21)1(23134)3)(1(1)(1sssssssssssssAIttttttttteeeeeeeesLe333311333321])[(AIA【例4】线性定常系统齐次状态方程为，其中A为2×2的常数阵。Axx已知当时，11)0(x状态方程的解；ttee22x12)0(x当时，状态方程的解，ttee2x求系统状态转移矩阵及系统矩阵A)(tΦ解对应初始状态，自由运动的解为：)0(x)0()()(xΦxtt由题意，得12)(2,11)(22teeteettttΦΦ即1121)(222teeeettttΦ则tttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeet22222212222221121211212)(Φ3120424222)(022220tttttttttteeeeeeeetΦA例5：【例6】动态系统的状态方程如下，试判断其能控性。uaaa100100010210xx解,100B210aAB221221aaaBA,故22122110100aaaacQ它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论取何值，其秩为3，即=3=n,故系统总是能控的。12,aacQrank【例7】电路如图3-7所示。图3-7其中,u为输入,i为输出,流经电感的电流和电容上的电压为状态变量，分析系统的能控性。1L1i1C1cu解ituciuutucRuiRtiLcccdddddd111121111令,整理以上三式得向量-矩阵形式的系统状态空间表达式为iyuxixc,,1211uRxxRyuCRLxxCRLRxx22121212112112111111100212121111)(111CRCRLLRLcABBQ当满足时，满秩，系统能控，否则不能控。11121LRCRcQ例8考察如下系统的能控性。(1)系统能控uxxxxxx852300020001321321(2)系统不能控uxxxxxx850300020001321321(3)系统能控21321321580520300020001uuxxxxxx(4)系统不能控21321321580500300020001uuxxxxxx图3-8是系统（2）的状态变量图。图3-8（5）系统能控uxxxx2040142121（6）系统不能控uxxxx0240142121（7）系统能控2143214321200210003000130000400014uuxxxxxxxx【例9】电路如图3-9所示,u为输入，电阻R0上的电压y为输出,i1、i2为状态变量,分析系统的能观测性。图3-9解utiLRitiLRidddd221102122210)(dd)(RiiytiLRiiiR令,可导出电路的状态空间表达式为2211ixix、21002100002101xxRRyuLxxLRRLRLRLRRxx能观测性判别矩阵LRRRLRRRRR20020000022CACQ可见,故系统是不能观测的。21rankonQ【例10】判断下列系统的能观测性（1）系统能观测xx300050007x546y（2）系统不能观测xx300050007x023y（3）系统能观测xx300050007x852321y（4）系统不能观测xx300050007x052021y【例11】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数xxx100112020113021yu解变换前系统能控判别矩阵122186116422BAABBQc因为,故系统是能控的，可化为能控标准型。n3rankcQ又因为系统的特征多项式为29det3λλIλλAAI故,,01a92a23a引入,其中非奇异变换阵由式(3-105)得xTxccT123161242001010109122186116420010111122aaacBAABBT则2450212018112316124211cT也可根据式(3-114)先求变换阵的逆矩阵。由式(3-115)得cT1cT4108141081041812214710012218611642100100111cQT由式(3-114)得的逆矩阵为cT1cT2450212018121111ATATTTc则123161242)(11ccTT变换后所得能控标准型为xCyBxAxcccu其中0921000101cccATTA1001BTBcc,123123βββccCTC由能控标准型,据式(3-116)可直接写出系统的传递函数2932)(32322133221ssssasasassssG【例12】已知非线性系统状态方程为)()(22212122221121xxxxxxxxxx试分析其平衡状态的稳定性。解由系统平衡状态的方程0)(0)(222121222112xxxxxxxx解出唯一平衡状态0xe。选取标准二次型为李亚普诺夫函数，即,该函数是正定的。沿任意状态轨迹对时间的导数为2221)(xxVx)(xV221122)(xxxxVx将系统状态方程代入上式,得2222122212122221121)(2)]([2)]([2)(xxxxxxxxxxxxVx显然,有;且当时,,故负定。0)(0V0x0)(xV)(xV因此,所选是满足定理4-1条件的一个李亚普诺夫函数。而且当时，，根据定理4-1，系统在平衡点处为大范围渐近稳定。2221)(xxVxx)(xV0xe