安徽省2014年中考数学专题复习课件 专题7 探索性问题

专题七探索性问题专题七┃探索性问题探究性问题最常见的题型是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；也可能是根据给定条件判断结论存在与否的问题．此类问题具有较强的综合性，涉及的知识面较广，需要学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，因此试题具有一定的难度．专题七┃探索性问题一、条件探究例1[2013·潍坊]如图X7－1，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)图X7－1本题答案不唯一，如OA＝OC或AB＝BC或AD＝CD或AD＝BC或AB＝CD或AD∥BC或AB∥CD等专题七┃探索性问题【点拨交流】(1)有哪些方法可以判定一个四边形是菱形？(2)ABCD是对角线互相垂直的四边形，还需满足什么条件可判定它是菱形呢？(3)在已知OB＝OD的条件下，添加什么条件可以判定四边形ABCD是平行四边形？专题七┃探索性问题(1)判定一个四边形是菱形的方法主要有：①四条边都相等的四边形；②有一组邻边相等的平行四边形；③对角线互相垂直的平行四边形等．(2)还需满足四边形ABCD是平行四边形．(3)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可添加的直接条件是：OA＝OC；间接条件是：AB＝BC或AD＝CD或AD＝BC或AB＝CD或AD∥BC或AB∥CD，通过证三角形全等得到OA＝OC.解专题七┃探索性问题专题七┃探索性问题二、结论探究例2[2013·淄博]分别以平行四边形ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角△ABE，△CDG，△ADF.(1)如图X7－2①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF.请判断GF与EF的关系(只写结论，不需证明)；(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．图X7－2专题七┃探索性问题(1)GF＝EF，GF⊥EF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝BA.∵△CDG和△BAE分别是以CD和BA为斜边的等腰直角三角形，∴DG＝AE＝22CD＝22AB.在△GDF中，∠GDF＝∠GDC＋∠FDA＋∠CDA＝90°＋∠CDA.在△EAF中，∠EAF＝360°－∠BAD－∠BAE－∠DAF＝360°－(180°－∠CDA)－90°＝90°＋∠CDA.∵DF＝FA，∴△GDF≌△EAF，∴GF＝EF，∠DFG＝∠AFE.∵∠DFG＋∠GFA＝90°，∴∠AFE＋∠GFA＝90°，∴GF⊥EF.解专题七┃探索性问题(2)成立．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝BA.∵△CDG和△BAE分别是以CD和BA为斜边的等腰直角三角形，∴DG＝AE＝22CD＝22AB.在△GDF中，∠GDF＝∠GDC＋∠FDA－∠CDA＝90°－∠CDA.在△EAF中，∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝180°－∠CDA－90°＝90°－∠CDA.∵DF＝FA，∴△GDF≌△EAF，∴GF＝EF，∠DFG＝∠AFE.∵∠DFG＋∠GFA＝90°，∴∠AFE＋∠GFA＝90°，∴GF⊥EF.专题七┃探索性问题【点拨交流】(1)两条线段的关系包括哪些？(2)如何确定两条线段GF与EF之间的位置关系和数量关系？(3)判定两个三角形全等的方法有哪些？(4)当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，如何探究GF与EF的关系？专题七┃探索性问题(1)两条线段之间的关系主要包括：位置关系和数量关系．(2)根据全等三角形的判定定理，证得△GDF≌△EAF，得到GF＝EF，∠DFG＝∠AFE，进而得到GF⊥EF.(3)判定两个一般三角形全等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，判定两个直角三角形全等除了上述方法外，还可以用HL.(4)类比第(1)小题的方法，通过证明△GDF≌△EAF，得到相等的线段和相等的角，进而研究GF与EF的位置关系和数量关系．解专题七┃探索性问题专题七┃探索性问题三、存在性问题探究例3[2013·白银]如图X7－3，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x轴交于O、A两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．图X7－3专题七┃探索性问题(1)把点O(0，0)代入y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1，得0＝k＋1，解得k＝－1，∴y＝x2－3x.(2)设B(m，m2－3m)．当y＝0时，x2－3x＝0，x＝0或x＝3，所以点A坐标为(3，0)．则有12×3×|m2－3m|＝6，解得m＝－1或m＝4，这时B(－1，4)或(4，4)．∵点B在对称轴右边，∴点B的坐标为(4，4)．解专题七┃探索性问题(3)存在．如图，∵点B的坐标为(4，4)，∴∠BOA＝45°.而∠POB＝90°，∴∠POA＝45°，故可设P(n，－n)．把点P(n，－n)代入y＝x2－3x，得－n＝n2－3n，∴n＝0(舍去)或n＝2，∴P(2，－2)．这时OB＝42＋42＝42，OP＝22＋22＝22，∴△POB的面积为12OB·OP＝12×42×22＝8.专题七┃探索性问题【点拨交流】(1)如何确定该二次函数的解析式？(2)设点B的横坐标为m，怎样用含m的代数式表示点B的坐标？(3)如何用含m的代数式表示△AOB的面积？如何求点B的坐标？(4)怎样确定在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°呢？专题七┃探索性问题(1)利用待定系数法，一般有几个未知系数，就需要找几个点的坐标．由于该二次函数的解析式只含有一个字母系数，又二次函数的图象经过点(0，0)，代入即可确定k＝－1，即二次函数解析式为y＝x2－3x.(2)代人变形，因为点B在抛物线y＝x2－3x上，当x＝m时，y＝m2－3m，所以点B坐标为(m，m2－3m)．解专题七┃探索性问题(3)先求抛物线与x轴的交点坐标，即求y＝0时对应的x的值，再根据三角形的面积建立方程12×3×m2－3m＝6，解得m＝－1或m＝4，并结合点B的位置确定它的坐标是(4，4)．(4)探究存在性问题，一般是先假设存在，然后看是否会推出矛盾，如推出矛盾则不存在，反之则存在．先假定在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°，根据已知条件推出点P的坐标特征，并用含有未知数的代数式表示点P坐标，把点P代入二次函数的解析式，若有解，则存在，若无解，则不存在．专题七┃探索性问题【方法总结】用待定系数法确定二次函数解析式↓根据三角形的面积建立方程→点B坐标↓假设点P存在→设点P坐标（n，－n）↓点P在y＝x2－3x上→建立方程－n＝n2－3n↓解方程－n＝n2－3n，若有实数解就存在，若无实数解就不存在