2016年江苏数学高考试题

2016年江苏数学高考试题数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.圆锥的体积公式：V圆锥13Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合{1,2,3,6},{|23},ABxx则=AB________▲________.2.复数(12i)(3i),z其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线22173xy的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.5.函数y=232xx--的定义域是▲.6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲.7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.8.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=-3，S5=10，则a9的值是▲.9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是▲.10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22221()xyabab＞＞0的右焦点，直线2by与椭圆交于B，C两点，且90BFC,则该椭圆的离心率是▲.(第10题)11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[−1,1)上，,10,()2,01,5xaxfxxx其中.aR若59()()22ff，则f（5a）的值是▲.12.已知实数x，y满足240220330xyxyxy，则x2+y2的取值范围是▲.13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BCCA，1BFCF，则BECE的值是▲.14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是▲.二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在ABC△中，AC=6，4πcos.54BC==，（1）求AB的长；（2）求πcos(6A-)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且11BDAF，1111ACAB.求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111PABCD，下部分的形状是正四棱柱1111ABCDABCD(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO是正四棱锥的高1PO的四倍.(1)若16m,2m,ABPO则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当1PO为多少时，仓库的容积最大？18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600xyxy及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,TATPTQ,求实数t的取值范围。19.（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)xxfxababab.（1）设a=2,b=12.①求方程()fx=2的根;②若对任意xR,不等式(2)f()6fxmx恒成立，求实数m的最大值；（2）若01,1ab＞，函数2gxfx有且只有1个零点，求ab的值.20.（本小题满分16分）记1,2,100U…，.对数列*nanN和U的子集T，若T,定义0TS;若12,,kTttt…，，定义12+kTtttSaaa….例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为3的等比数列，且当=2,4T时，=30TS.(1)求数列na的通项公式；(2)对任意正整数1100kk，若1,2,kT…，，求证：1TkSa；（3）设,,CDCUDUSS,求证：2CCDDSSS.数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵12,02A矩阵B的逆矩阵111=202B，求矩阵AB.C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为11232xtyt（t为参数），椭圆C的参数方程为cos,2sinxy（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.D.设a＞0，|x-1|＜3a，|y-2|＜3a，求证：|2x+y-4|＜a.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；②求p的取值范围.23.（本小题满分10分）（1）求3467–47CC的值；（2）设m，nN*，n≥m，求证：（m+1）Cmm+（m+2）+1Cmm+（m+3）+2Cmm+…+n–1Cmn+（n+1）Cmn=（m+1）+2+2Cmn.参考答案1.1,22.53.2104.0.15.3,16.97.5.68.20.9.7.10.6311.2512.4[,13]513.7814.8.15.解（1）因为4cos,0,5BB所以2243sin1cos1(),55BB由正弦定理知sinsinACABBC，所以26sin252.3sin5ACCABB（2）在三角形ABC中ABC，所以().ABC于是cosAcos(BC)cos()coscossinsin,444BBB又43cos,sin,55BB，故42322cos525210A因为0A，所以272sin1cos10AA因此23721726cos()coscossinsin.66610210220AAA16.证明：（1）在直三棱柱111ABCABC中，11//ACAC在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.所以//DEAC，于是11//DEAC又因为DE平面1111,ACFAC平面11ACF所以直线DE//平面11ACF（2）在直三棱柱111ABCABC中，1111AA平面ABC因为11AC平面111ABC，所以111AAAC又因为111111111111111,,ACABAAABBAABABBAABAAA，平面平面所以11AC平面11ABBA因为1BD平面11ABBA，所以111ACBD又因为1111111111111CF,CF,BDAACAAFAACAFAF，平面平面所以111CFBDA平面因为直线11BDBDE平面，所以1BDE平面11.ACF平面17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积22311111=6224;33VABPOm柱正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积2231=68288.VABOOm柱所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0h6,OO1=4h.连结O1B1.因为在11RTPOB中，222111OBPOPB，所以222362ah，即22236.ah于是仓库的容积222311326436,06333VVVahahahhhh锥柱，从而2226'36326123Vhh.令'0V，得23h或23h（舍）.当023h时，'0V，V是单调增函数；当236h时，'0V，V是单调减函数.故23h时，V取得极大值，也是最大值.因此，当123PO时，仓库的容积最大.18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分16分.解：圆M的标准方程为226725xy，所以圆心M(6，7)，半径为5,.（1）由圆心在直线x=6上，可设06,Ny.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以007y，于是圆N的半径为0y，从而0075yy，解得01y.因此，圆N的标准方程为22611xy.(2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为40220.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离2675.55mmd因为222425,BCOA而222,2BCMCd所以252555m，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设1122,,Q,.Pxyxy因为2,4,,0,ATtTATPTQ,所以212124xxtyy……①因为点Q在圆M上，所以22226725.xy…….②将①代入②，得22114325xty.于是点11,Pxy既在圆M上，又在圆224325xty上，从而圆226725xy与圆224325xty没有公共点，所以2255463755,t解得22212221t.因此，实数t的取值范围是2221,2221.19．（1）因为12,2ab，所以()22xxfx.①方程()2fx，即222xx，亦即2(2)2210xx，所以2(21)0x，于是21x，解得0x.②由条件知2222(2)22(22)2(())2xxxxfxfx.因为(2)()6fxmfx对于xR恒成立，且()0fx，所以2(())4()fxmfx对于xR恒成立.而2(())444()2()4()()()fxfxfxfxfxfx，且2((0))44(0)ff，所以4m，故实数m的最大值为4.（2）因为函数()()2gxfx只有1个零点，而00(0)(0)220gfab，所以0是函数()gx的唯一零点.因为'()lnlnxxgxaabb，又由01,1ab知ln0,ln0a