多元函数泰勒公式

4泰勒公式与极值高阶导数中值定理和泰勒公式问题),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.一、高阶偏导数(,),(,)xyfxyfxy函数),(yxfz的一阶偏导数为仍存在偏导数，则称它们为函数),(yxfz的二阶偏导数0001()()()xxxxxx00000000(,)(,)(,)(,)(,)Fxyfxxyyfxxyfxyyfxy,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理7.010010(,)(,)xxfxxyyfxxyx010212(,),0,1xyfxxyyxy0()xx证令1010()x00000000(,)(,)(,)(,)(,)Fxyfxxyyfxyyfxxyfxy0()xx0()x0003()()()yxyyyy003003(,)(,)yyfxxyyfxyyy040334(,),0,1yxfxxyyyx例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等01020403(,)(,)xyyxfxxyyfxxyy(,),(,)xyyxfxyfxy由的连续性，当0,0xy时有0000(,)(,)xyyxfxyfxy二、问题的提出).10()()!1()()(!)()(2)())(()()(1000)1(00)(200000nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式：意义：可用n次多项式来近似表达函数)(xf，且误差是当0xx时比nxx)(0高阶的无穷小．证引入函数01()(,),().tfahtbktt定理8设),(yxfz在凸域2DR上连续,在D的所有内点可微,则对D内任意两点(,),Pab(,)int,.QahbkDst二、中值定理和泰勒公式(,)(,),xyfahbkhfahbkk0001(,)(,)(,)(,),()xyfahbhfxyfahbkhfahbkk显然内可微,由中值定理()[0,1],(0,1)tC在(,)(,)(1)(0)().fahbkfhk(01).定理9设),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内连续且有直到1n阶的连续偏导数,),(00hyhx为此邻域内任一点,则有)10(),,()!1(1),(!1),(!21),(),(),(00100002000000kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn其中记号),(00yxfykxh),,(),(0000yxkfyxhfyx表示),(002yxfykxh表示),,(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx一般地,记号表示),(00yxfykxhm.),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhC证引入函数).10(),,()(00tktyhtxft显然),,()0(00yxf).,()1(00kyhxf由的定义及多元复合函数的求导法则,可得)(t),,(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(!21)0()0()1()1()(nnnn将),()0(00yxf,),()1(00kyhxf及上面求得的)(t直到n阶导数在0t的值,以及)()1(tn在t的值代入上式.即得)1(,),(!1),(!21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf其中)2().10(),,()!1(1001kyhxfykxhnRnn证毕公式)1(称为二元函数),(yxf在点),(00yx的n阶泰勒公式,而nR的表达式)2(称为拉格朗日型余项.由二元函数的泰勒公式知,nR的绝对值在点),(00yx的某一邻域内都不超过某一正常数M.于是,有下面的误差估计式:)3(,!12sincos!1!111111nnnnnnMnnMkhnMR其中.22kh由)3(式可知,误差nR是当0时比n高阶的无穷小.当0n时,公式)1(成为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.推论如果函数),(yxf的偏导数),(yxfx,),(yxfy在某一邻域内都恒等于零,则函数),(yxf在该区域内为一常数.在泰勒公式)1(中,如果取0,000yx,则)1(式成为n阶麦克劳林公式.),,()!1(1)0,0(!1)0,0(!21)0,0()0,0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn)10()5(例6求函数)1ln(),(yxyxf的三阶麦克劳林公式.解,11),(),(yxyxfyxfyx,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx,)1(!2333yxyxfpp),3,2,1,0(p,)1(!3444yxyxfpp),4,3,2,1,0(p,)0,0()0,0()0,0(yxyfxffyyxxyx,)()0,0()0,0(2)0,0()0,0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx,)(2)0,0()0,0(3)0,0(3)0,0()0,0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx又0)0,0(f,故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx其中).10(,)1()(41),(!414443yxyxyxfyyxxR1、二元函数的泰勒公式；四、小结2、二元函数的拉格朗日中值公式；n3、阶麦克劳林公式；练习题的泰勒公式．点在一、求函数)2,1(5362),(22yxyxyxyxf的三阶泰勒公式．二、求函数)1ln(),(yeyxfx阶泰勒公式．的三、求函数neyxfyx),(练习题答案．一、22)2()2)(1()1(25),(yyxxyxf24.)233(!31)2(!21)1ln(333222xxeRRyxyyxyxyyye其中二、.10),()!1()(!1)2(!21)(11111)(1122nnnnyxnnnnnnyxyyxCxneRRyyxCxnyxyxyxe其中三、