方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式

第十章多元函数的导数及其应用●§10.1多元函数的极限与连续●§10.2偏导数与全微分●§10.3多元复合函数与隐函数的偏导数★§10.4方向导数、梯度及泰勒公式●§10.5多元函数的极值与条件极值§10.4方向导数与梯度及泰勒公式10.4.1方向导数与梯度内容小结与作业10.4.2方向导数与梯度的性质及应用10.4.3黑塞矩阵与泰勒公式Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件10.4.1方向导数与梯度1.方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.对于二元函数有在几何上，它们分别表示平面曲线及在点处的切线的斜率.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元函数在点uhQ定义若函数(,)zfxy0limuhzh00(,)uDfxy00000(,)(,)limhfxxyyfxyh在点00(,)Pxy处沿方向u(方向角为,)存在下列极限:记作00(,)Pxy则称为函数在点P处沿方向u的方向导数.00(,)uDfxyDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件S方向导数的几何意义hPQPQuC表示曲线C在点处的切线的斜率.00(,)uDfxyP00(,)uDfxyfx特别:•当u与x轴同向0,,2时有•当u与x轴反向,,2时有00(,).uDfyxxfDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，设函数在点处可微，(,)zfxy定理10.4.1且有其中为向量u的方向余弦.因函数在点处可微，则证明2.方向导数的计算Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件这就证明了方向导数存在，且一般地，当函数可微时，有且所以当自变量从点沿u方向移动时，Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件三元函数在点沿方向u(方向角为)的方向导数定义为,,000(,,)uDfxyz0000000(,,)(,,)limhfxxyyzzfxyzh定理10.4.1的逆命题不成立.f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可微.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件方向导数的性质Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件例1.求函数在点沿方向2(,)cos()yfxyxexy(1,0)34uij的方向导数.解：2sin(),yxfeyxy22sin()yyfxexxy(1,0)1,xf(1,0)2,yf又的方向余弦为u2233cos53(4)2244cos53(4)故(1,0)(1,0)cos(1,0)cosuxyDfff3412155Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件例2.设是曲面n在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu(1,1,1)uDu同理得)1,3,2(2方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866在点P处沿求函数nn故Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件3.梯度向量的定义因为(,)uffxye(,,)ufffxyze新向量GDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件(,,)fxyz(,),fffffxyijxyxyzfyfxf,,kzfjyfixf同样可定义二元函数),(yxf),(yxP在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.称为函数f(P)在点P处的梯度(gradient),G向量(,)(,)uuDfxyfxye(,,)(,,)uuDfxyzfxyze记作gradf或f,即nablaDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件例3.求函数在点处的梯度以及2(,)2fxyxyy(2,1)函数在该点处沿方向的方向导数.3uij解：(,)2,xfxyxy2(,)2,yfxyx(2,1)4,xf(2,1)6yf故(2,1)46fij又131010ueij故(2,1)(2,1)uuDffe13(4,6),10101410Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件如果采用向量的记号，我们容易给出一般n元函数的方向导数与梯度的定义.0()()limhfhfDfhuxuxx设f(x)是n元函数(通常我们只考虑二元函数和三元u是n元向量,u0是u对应的单位向量,函数的情况)，则f(x)在点x处沿u的方向导数和梯度分别定义为12(),,,nffffxxxx0()()DffuxxuDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件10.4.2方向导数与梯度的性质及应用1.函数的最速上升方向与最速下降方向n0,nx0(0,)00()(),ffxdx(0,),定义10.4.1设f(x)是上的连续函数，d是n维非零向量，如果存在，使得对于一切，恒有则称d为函数f在x0处的上升方向;恒有如果对于00()(),ffxdx则称d为函数f在x0处的下降方向.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件0()0,Dfux定理10.4.2设f(x)在点x0处可微,u是一个n维非零向量，如果个上升方向；的一个下降方向．则u是f(x)在点x0处的一0()0,Dfux如果则u是f(x)在点x0处定理说明:方向导数的符号决定函数的升降.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件结论1梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)000000()()()()Dffffuxxuxux000().()ff成立xux沿梯度方向,方向导数达到最大值0().fx问题：函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件若函数在点处取最大值，则函数沿任何()fx0x()fx方向都不可能上升，于是由定理10.4.2知0()0uDfx特别地0()0()0fDfxx另一方面00()000()()()0()ffDfffxxxxx因此0()0()0fDfxx0()0fx即函数在最大值点处的梯度为零向量；0x同理可得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.结论2函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件设在处取最大（小）值，则(,)zfxy00(,)xy00(,)0fxy即0000(,)0,(,)0xyfxyfxy类似地，若三元函数在处取最(,,)ufxyz000(,,)xyz大（小）值，则000000(,)0,(,)0,(,)0xyzfxyfxyfxyDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件例4.设一座山的高度由函数给出,如221532zxy果登山者在山坡的点处，此时登山者往何方(1,2,4)P向攀登时坡度最陡？解：坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即求使高度函数在点处的方向导数最大的方向.Pu(1,2)(1,2),zzfxy因(,)(,)uuDfxyfxye(,)cosfxy为梯度与的夹角,u所以(,)uDfxy最大0即沿梯度方向函数上升最快.又因(6,8)所以在点处沿向量方向攀登时坡度最陡.P(6,8)uP221532zxyufDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件22(,)122fxyxyx例5求函数在点(2,1)处函数值下降最快的方向．0()0,fxd0()0,fxdn0,nx定理10.4.3设f(x)是上的连续函数，d是n维非零向量，如果则d是f(x)在点x0处的一个上升方向；如果则d是f(x)在点x0处的一个下降方向.d与f(x0)成锐角d与f(x0)成钝角解：(,)(22,4)fxyxy(2,1)(2,4),f(2,1)(2,4)f所以函数在点处的最速下降方向为(2,1)2,4.Dept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件2.梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量设f(x)是n元可微函数,0,nx0(),fkx:()Sfkx等值面01122,:(),(),,().nnCSxCxxtxxtxxt12(),(),(),nfxtxtxtk1212()()()0nnfffxtxtxtxxx010200()(),(),,()nxtxtxtTx00()()0fxTxDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件000000(,)(,),(,)xyfxyfxyfxy00(,)(,)fxyfxy对于n=2的情形:是函数f(x,y)过点(x0,y0)的等值线在该点处,它与等值线的切线垂直.在点(x0,y0)处的一个法线方向向量.等值线n=2xyo00()xyT00()fxy00()xy结论:0()fx与等值面在点x0处的切平面垂直，所以是等值面S在点x0处的一个法线方向向量.0()fxDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件000000000000(,,)(,,),(,,),(,,)xyzfxyzfxyzfxyzfxyz000(,,)(,,)fxyzfxyz对于n=3的情形:是函数f(x,y,z)的等值面在点(x0,y0,z0)处的一个法线方向向量.在该点处,它与等值线的切平面垂直.000(,,)fxyz000(,,)TxyzOxyz等值面000(,,)xyz3nDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件10.4.3黑赛矩阵与泰勒公式1.黑赛矩阵设n元函数f(x)在点x处对于自变量的各分量的二阶2()(,1,2,,)ijfijnxxx连续，偏导数22221121222222122222212()nnnnnfffxxxxxffffxxxxxfffxxxxxHx二阶导数或黑塞矩阵2n222112222212ffxxxffxxxHDept.Math.&Sys.Sci.应用数学教研室高等数学分级教学A2班教学课件例6.解：计算函数的梯度与黑塞42(,)(1)fxyxxyy矩阵,并求以及2(0,0),(0,0)f