用模拟法测绘静电场

155实验5-21用模拟法测绘静电场带电体的周围产生静电场，场的分布是由电荷分布、带电体的几何形状及周围介质所决定的。由于带电体的形状复杂，大多数情况求不出电场分布的解析解，因此只能靠数值解法求出或用实验方法测出电场分布。直接用电压表去测量静电场的电位分布往往是困难的，因为静电场中没有电流，磁电式电表不会偏转；而且与仪器相接的探测头本身总是导体或电介质，若将其放入静电场，探测头上会产生感应电荷或束缚电荷，这些电荷又产生电场，与被测静电场迭加起来，使被测电场产生显著的畸变。因此，实验时一般采用一种间接的测量方法（即模拟法）来解决。【实验目的】1．学会用模拟法测绘静电场方法。2．加深对电场强度和电位概念的理解。【实验器材】GVZ-3型导电微晶静电场描绘仪。【实验原理】一、模拟法模拟法本质上是用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程来模拟不易实现、不便测量的状态和过程，但是要求这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，且满足相似的数学形式及边界条件。一般情况，模拟可分为物理模拟和数学模拟。物理模拟就是保持同一物理本质的模拟，对一些物理场的研究主要采用物理模拟，例如用光测弹性模拟工件内部应力的分布等。数学模拟也是一种研究物理场的方法，它是把不同本质的物理现象或过程，用同一数学方程来描绘。对一个稳定的物理场，若它的微分方程和边界条件一旦确定，其解是唯一的。如果描述两个不同本质的物理场的微分方程和边界条件相同，则它们解的数学表达式是一样的。只要对其中一种易于测量的场进行测绘，并得到结果，那么与它对应的另一个物理场的结果也就知道了。模拟法在工程设计中有着广泛的应用。例如，对于静电场，电场强度E在无源区域内满足以下积分关系0sEdS（高斯定理）0lEdl（环路定理）对于稳恒电流场，电流密度矢量j在无源区域中也满足类似的积分关系0sjdS（连续方程）0ljdl（环路定理）在边界条件相同时，二者的解是相同的。由于稳恒电流场易于实现测量，所以就用稳恒电流场来模拟与其有相同数学形式的静电场。二、用电流场模拟静电场1．均匀带电长直同轴圆柱面间的电场分布156本实验被模拟的是在真空中均匀带电的（无限）长直同轴圆柱面间的静电场，如图5-21-1a所示。其中内圆柱体A的半径为0r，外圆筒B的内半径为0R，二者均为导体。设电极A的电位为0U，电极B的电位为零（接地），A、B分别带等量异号电荷。由对称性可知，该静电场的等位面是许多同轴管状柱面，若垂直于轴线做一个截面S，则这些柱面与S面的交线是一系列同心圆，每一个圆就是一条等位线。根据电场线与等位线处处垂直的关系，可绘出电场线，如图5-21-1b所示。由于S面为任一截面，若该面的电场分布清楚了，则整个静电场的电场分布就清楚了。为了计算电极A、B间的静电场，我们在轴线方向上取一段单位长度的同轴柱面，其横截面入图5-21-1c所示。设内外柱面单位长度带电量分别为与，则两柱面间距离轴线为r处点的电场强度E的大小为02Er则两极间的电位差000000000ln22RRrrRdrUEdrrr（5-21-1）同样，半径为r的柱面上任意一点与外电极B间的电位差为00000Edrln22RRrrrRdrUrr（5-21-2）由式（5-21-1）和式（5-21-2）得)/ln()/ln(0000rRrRUUr（5-21-3）从上式可以看出rU与)/ln(0rR呈线性关系。2．同轴圆柱面电极间电流场的电位分布如图5-21-2a所示，模拟电极由半径为0r的圆柱形金属电极A和内半径为0R的圆柱形金属电极B组成，两电极同心地紧压在导电微晶s上。通电后，在两电极间的导电质中形成稳恒电流场。电流从电极A均匀辐射状的流向电极B，见图5-21-2b。设导电微晶的厚度为，其电阻率为，若在两电极间做半径分别为r和drr的圆，图5-21-1均匀带电长直同轴圆柱面间的电场分布a)长直同轴圆柱面b)等位线与电场线c)静电场中的高斯面157则两圆之间的导电微晶的电阻为rdrrdrSdrdR22式中，S是半径为r、厚度为的圆柱面的侧面积。那么，半径为r的柱面到半径为0R的外柱面的之间的电阻为rRrdrR0RrrR0ln220（5-21-4）通过同样的计算可以得到，半径为0r的内圆柱面到半径为0R的外圆柱面间的总电阻为00ln200rRRRr（5-21-5）因此，从内圆柱面到外圆柱面的电流为0000)/ln(200UrRRUIRr（5-21-6）则半径为r的柱面的电位为0rRrIRU将式（5-21-4）和式（5-21-6）代入上式，得)/ln()/ln(0000rRrRUUr（5-21-7）比较式（5-21-3）和式（5-21-7）可知，静电场与模拟场的电位分布完全相同。图5-21-3给出了两根长直带电直线和聚焦电极的电位分布。注意：模拟方法的使用有一定的条件和范围，不能随意推广，否则将会得到荒谬的结论。用稳恒电流场模拟静电场的条件可以归纳为下列三点：（1）稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同；（2）稳恒电流场中的导电介质是不良导体且电导率分布均匀，这样才能保证电流场中的电极（良导体）的表面也近似是一个等位面；（3）模拟所用电极系统与模拟电极系统的边界条件相同。【实验内容】一、描绘均匀带电长直同轴圆柱面间的电场分布1．首先固定好记录纸，用探针紧靠外电极的内侧任取三点，在记录纸上记下这三点的位置，由这三点确定电极的机械圆心，此圆心就是等位线的中心。圆心到这三个点之间的距a)b)图5-21-2模拟电极与模拟场a)模拟电极b)模拟场158离就是外电极内侧的半径0R。注意：本实验完成之前，记录纸的位置不得再变。2．实验装置如图5-21-4所示，将导电微晶的内外两电极分别与直流稳压电源的正负极相连接，将探针测量的正极与探针相连。把探针移离导电微晶纸，打开电源，将电源调至“校正”位置，旋转电压调节使电压表的示值（即内外电极间电压）为10.00V。3．将电源调至“测量”位置，此时电压表显示的示值就是探针与负极之间的电压值。移动探针使电压表读数为6.00V，按一下记录纸上的探针记下该点位置。在6.00V等位线上大致均匀地记录10个等位点。4．用上述方法分别测出5.00V、4.00V、3.00V、2.00V和1.00V各条等位线。二、描绘两根平行长直均匀带电直线和聚焦电极的电场分布1．调节两极之间的电压为10.00V。2．用与上述类似的方法测出电位分别为3.00V、4.00V、5.00V、6.00V、7.00V的等位线。【数据处理】一、均匀带电长直同轴圆柱面1．取下记录纸，量出每条等位线上的10个点离圆心O的距离，求平均半径r，填入表5-21-1中。表5-21-1均匀带电长直同轴圆柱面各等位线的半径半径电压1r2r3r4r5r6r7r8r9r10rr6.00V5.00V4.00V图5-21-4实验装置图图5-21-3模拟电极的电位分布a)平行带电直导线b)聚焦电极1593.00V2.00V1.00V2．然后根据电场线与等位线正交原理，画出电场线，并指出电场强度方向，这样就得到一张完整的电场分布图。3．计算不同等位线处的0ln(/)Rr，填入表5-21-2中。在坐标纸上做出0ln(/)rURr曲线。表5-21-2模拟法测绘静电场数据纪录与处理表格rU/V6.005.004.003.002.001.000ln(/)Rr二、两根平行长直均匀带直线和聚焦电极在记录纸上画出各条等位线，并根据等位线绘出电场线。【注意事项】1．移动探针要轻要慢，以防损坏导电微晶。【思考题】1．为什么静电场不能直接测绘，而要用稳恒电流场来进行模拟？使用模拟法的条件是什么？2．如何从等位线和电场线的分布看出电场强度的大小和方向？