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初二数学联赛班八年级1思维的发掘能力的飞跃第1讲四点共圆典型例题一.基础练习【例1】如图，P为ABC△内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上．已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆．【例2】如图7-55，在梯形ABCD中，AD∥BC，过B、C两点作一圆，AB、CD的延长线交该圆于点E、F．求证：A、D、E、F四点共圆．【例3】如图，⊙1O、⊙2O相交于A、B两点，P是BA延长线上一点，割线PCD交⊙1O于C、D，割线PEF交⊙2O于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．PECBADFPFDCBAE初二数学联赛班八年级2思维的发掘能力的飞跃【例4】如图7-56，在△ABC中，AD=AE，BE与CD交于点P，DP=EP，求证：B、C、E、D四点共圆．【例5】如图，已知ABC△是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G，求证：2ABBGBC．【例6】如图7－63，在ABCD□的对角线上，任取一点P，过点P作AB、CD的公垂线EG，又作AD、BC的公垂线FM．求证：EF//GM．【例7】如图7-66，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE⊥AC，AF⊥BD，点E、F是垂足．求证：EF//BC．OGFECDBA初二数学联赛班八年级3思维的发掘能力的飞跃【例8】如图7-60，已知△ABC，AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E．求证：E、F、C、B四点共圆．【例9】如图，已知：60ABDACD，1902ADBBDC．求证：ABC△是等腰三角形．二.综合提高【例10】如图7-61，在⊙O中，AB∥CD，点P是AB的中点，CP的延长线交⊙O于点F，又点E为弧BD上任一点，连EF交AB于点G．求证：P、G、E、D四点共圆．【例11】如图7-62，在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，BM=MC，过M、C任作一圆，与AC交于点E，BE与圆交于F点，求证：AF⊥BE．CDBA初二数学联赛班八年级4思维的发掘能力的飞跃【例12】如图7－64，P为△ABC外接圆一任意一点，点P到△ABC三边的垂足分别为D、E、F三点成一直线．【例13】如图7-65，在ABCD□中，过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点E、F、G、H．求证：EF//GH．【例14】如图7-67，AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H，HP⊥AB．求证：∠1＝∠2．【例15】如图7－68，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角平分线于点F．求证：EA=EF．初二数学联赛班八年级5思维的发掘能力的飞跃【例16】在等边三角形ABC中，D、E分别是边BC、AC上的点，且有12BDCECD，连结BE、AD交于点P，求证：CPAD．【例17】设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆．【例18】证明：三角形的三条高交于一点．【例19】已知在凸五边形ABCDE中，3BAEBCCDDE，，且1802BCDCDE，求证：BACCADDAE．EDCBAECBADP初二数学联赛班八年级6思维的发掘能力的飞跃【例20】如图所示，设N是正九变形，O为其外接圆的圆心，PQ和QR是N的两相邻边，A为PQ的中点，而B为垂直于QR的圆半径的中点，试求AO与AB的夹角．【例21】如图，已知ABC△内接于O⊙，AD、BD为O⊙的切线，作DEBC∥，交AC于E，连结EO并延长交BC于F，求证：BFFC．【例22】如图，在凸四边形ABCD的BC边上取E和F（点E比F更靠近点B）．已知BAECDF及EAFFDE，证明：FACEDB．OFEDCBAOACRQPBFECBDA初二数学联赛班八年级7思维的发掘能力的飞跃【例23】如图，在平行四边形ABCD中，BAD为钝角，且AEBCAFCD，．（1）求证：AECF、、、四点共圆；（2）设线段BD与（1）中的圆交于MN、．求证：BMND．【例24】正方形ABCD的中心为O，面积为2009，P为正方形内的一点，且45OPB，:4:5PAPB，求PB．【例25】如图，已知ABC△中，AH是高，AT是角平分线，且TDABTEAC，．求证：（1）AHDAHE；（2）BHCHBDCE．NMFEBDACPODCBATHEDCBA初二数学联赛班八年级8思维的发掘能力的飞跃【例26】如图，⊙O为ABC△的外接圆，60BAC，H为AC、AB上高BD、CE的交点，在BD上取点M，使BMCH．连结OMOH、，求证：OMOH．【例27】如图，CD是O的直径，弦AE交CD于点Q，点B是弧DE上一点，BC和DE交于点F．ABCD，垂足为M，求证：QFAB∥．三.过三点的圆【例28】如图，四边形ABCD中，ABACAD，若76CAD，13BDC，则CBD_______，BAC__________．NMQOFEDCBADCBAOHMEDCBA初二数学联赛班八年级9思维的发掘能力的飞跃【例29】已知凸四边形ABCD，2BACBDC，2CADCBD，求证：ABACAD．思维飞跃【例30】如图，直线AB和AC与O⊙分别相切于BC、，P为圆上一点，P到ABAC、得距离分别为49、，试求P到BC的距离．【例31】如图，ABC△中，90ACB，AB边上的高线CH与ABC△的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点．PM、QN的中点分别为E、F．求证：//EFAB．OPFEDCBADCBAMNPHBACEQF初二数学联赛班八年级10思维的发掘能力的飞跃【例32】如图，已知P是正ABC△外接圆的弧BC上的任一点．求证：22PAACPBPC．【例33】如图，PA、PB切圆O于A和B，PO交AB于M，过M任作一弦CD，求证：APCBPD．【例34】如图，AB为⊙O的直径，P为⊙O外一点，过P引圆O的两条切线，切点分别为C、D，AD与BC交于点E，求证：EPAP．OABDCFPODCPBAMPBCA初二数学联赛班八年级11思维的发掘能力的飞跃作业1.在锐角△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H．求证：点H是△DEF的内心．2.已知AB是圆的直径，AD为圆的切线，FB和DB是圆的割线，分别交圆于E、C，求证：BEBFBCBD．3.已知ABC△中，ABAC，AD是高，P为AC上任一点，PC的中垂线RQ交AD于R，求证：RPBDAC．FECDABRDCBAQP初二数学联赛班八年级12思维的发掘能力的飞跃4.如图，设四边形ABCD的两组对边AB、DC及AD、BC的交点分别为E、F．若E、F的平分线互相垂直，则A、B、C、D四点共圆．5.如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，过P作割线交⊙O于C、D，过B作BECD∥，连结AE交PD于M，求证：M为DC的中点．6.过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为AB、，所作割线交圆于CD、两点，C在PD、之间．在弦上取一点Q，使DAQPBC．求证：DBQPAC．QPDCBAOADBEMCPAFEDCBM