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初一数学尖子实验班七年级1思维的发掘能力的飞跃第12讲三角形的认识（二）知识总结归纳一.三角形三个内角的关系三角形的三个内角和等于180．二.三角形外角的概念（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．（2）三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角，通常只取一个．三.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（3）三角形的外角和为360．四.注意事项当题目没有给出具体的图形，而根据题意图形形状不唯一或几何图形位置关系不确定时，需要分类讨论，避免漏解．典型例题一.三角形内角和外角的性质【例1】对于三角形ABC△，你能证明180ABC吗？你能找到多少种证明方法？初一数学尖子实验班七年级2思维的发掘能力的飞跃【例2】如图，D是ABC△的BC边上的点，BBAD，80ADC，70ACD，求：（1）B的度数；（2）DAC的度数．【例3】如图，育才中学刘明在学习了三角形有关角一节后，在纸上画了一个五角星，他想求五个角的度数和，你能帮助他吗？【例4】如图所示，ABC△中，BAC、ABC、ACB的外角分别记为、、，问它们的和是多少？ACBDCBA初一数学尖子实验班七年级3思维的发掘能力的飞跃【例5】如图，ABC△中，BAC、ABC、ACB的外角分别记为、、．若::3:4:5，求::ABC．二.与角平分线相关的计算【例6】如图，已知45C，453B，AE平分BAD，求CAE．【例7】ABC△中，B的平分线与C的外角平分线相交于点D．如果27A，求BDC的度数．ACBEBCDA初一数学尖子实验班七年级4思维的发掘能力的飞跃【例8】如图，BP是ABC△中ABC的平分线，CP是ACB的外角平分线，BP、CP交于P，试探究A和P的关系．【例9】如图，BD平分ABE，CD平分ACE，BD、CD相交于D，100D，150E，求A的度数．【例10】如图，BE平分DBA交DC于F，CE平分DCA交AB于G，AB和CD交于H，46A，48D．求BEC的度数．MCBAGHFEBDCAEADACABAA初一数学尖子实验班七年级5思维的发掘能力的飞跃【例11】如图，在ABC△中，CD、BE分别是ABC△的外角平分线，BD、CE是内角平分线，BE、CE交于E，BD、CD交于D，试探索D、E的关系．【例12】（1）如下左图，ADBC于D，AE平分BAC，试探寻DAE与C、B的关系．（2）如下右图，若将点A在AE上移动到F，FDBC于D，其他条件不变，那么EFD与C、B是否还有（1）中的关系？说明理由．（3）当F在AE的延长线上时，（1）和（2）中的结论是否还成立？【例13】如图，已知ABC△中的两内角平分线交于P点，两外角平分线交于M点，一内角平分线与外角平分线交于N．试分别探究BPC、M、N与A的关系；GACABAAFAEADDECBAFDCBAEPNMCBA初一数学尖子实验班七年级6思维的发掘能力的飞跃【例14】如图，DC平分ADB，EC平分AEB，若DAE，DBE，求DCE（用、表示）【例15】如图，ABC△中，ABDDBEEBC，ACDDCEECB，若145BEC，求BDC．【例16】平面内的四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次连接，已知24BAC，42ADC．（1）如下左图，若BAD与BCD的平分线交于点M，求AMC的值；（2）如下右图，点E在BA的延长线上，DAE的平分线和BCD的平分线交于点N，求ANC的值．EDCBACDMBAABENDCCEDAB初一数学尖子实验班七年级7思维的发掘能力的飞跃【例17】如图，在ABC△中，BE平分DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若30A，且75DFE．（1）求证：DFEADE；（2）求E的度数．【例18】ABC△中，90CABB，C的平分线与AB交于L，C的外角平分线与BA的延长线交于N．已知3CL，求CN的长．三.应用与探究【例19】如图，将纸片ABC沿着DE折叠压平，试探索A、BDA、AEC满足的关系．CBAEDFDGCBAELNCBA初一数学尖子实验班七年级8思维的发掘能力的飞跃【例20】如图，ABC中，80A，剪去A后，得到四边形BCED，求12．【例21】如图，已知射线OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON上一动点，ABM、BAN的平分线交于C．问：B、A在OM、ON上运动的过程中，C的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．【例22】如下左图，已知ABC△中，ABCACB，D为BC边上一点，E为直线AC上一点，且ADEAED．（1）求证：2BADCDE；（2）如下右图，若D在BC的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论．21EDCBACBAOMNDECBAEDCBA初一数学尖子实验班七年级9思维的发掘能力的飞跃四.易错题分析【例23】在ABC△中，高BD和CE所在直线交于O点，若ABC不是直角三角形，且50A，求BOC的度数．【例24】在ABC△中，60A，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求BOC的度数．思维飞跃【例25】在ABC△中，ABAC，求证：CB．CABAAA初一数学尖子实验班七年级10思维的发掘能力的飞跃【例26】如图，D是ABC内的一点，AD、BD相交于D，试判断D、C的大小关系并说明．【例27】如图，在ABC△中，A，ABC的平分线与ACD的平分线交于点1A，得1A；1ABC的平分线与1ACD的平分线交于点2A，得2A；…，2008ABC的平分线与2008ACD的平分线交于点2009A，得2009A．求2009A．作业1.如图，D是ABC的BC边上的点，BBAD，60C，40B，求ADC和DAC．CADABAAADCBADCBA初一数学尖子实验班七年级11思维的发掘能力的飞跃2.如图，ABC中，BAC、ABC、ACB的外角分别记为、、．若::5:6:7，求::ABC．3.如图，BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的邻补角的平分线．若20ABP，50ACP，求AP．4.如图，在凹四边形ABCD中，已知ABD与ACD的平分线交于点E，求证：2ADE．5.如图，BE平分DBA交DC于F，CE平分DCA交AB于G，AB和CD交于H，27A，33E．求D的度数．ACBMCBAEDCBAGEFEBDCA初一数学尖子实验班七年级12思维的发掘能力的飞跃6.ABC中，B的平分线与C的外角平分线相交于点D．如果140BDC，求A的度数．7.在ABC中，高BD和CE所在直线交于O点，若ABC不是直角三角形，且70A，求BOC的度数．8.如图，31ABC,BAC的平分线AE与FCB的平分线CE相交于E点，求AEC的度数．FDCBAE