初中数学竞赛——正方形和梯形

初二数学联赛班八年级1思维的发掘能力的飞跃第3讲正方形和梯形知识总结归纳一.正方形的定义：定义：邻边相等的矩形叫正方形，或者有一个角为直角的菱形叫正方形．正方形既是矩形又是菱形．二.正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．（1）边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行．（2）角：四个角都是直角．（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．（4）对称性：正方形是轴对称图形，有4条对称轴．（5）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的的夹角是45；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．三.正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．（2）有一个角是直角的菱形是正方形．四.梯形的相关定义：（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．（2）梯形的腰：梯形中不平行的两边叫梯形的腰．（3）梯形的高：梯形两底间的距离角梯形的高．（4）等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形,（5）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫等腰梯形．五.等腰梯形的性质：（1）等腰梯形是轴对称图形，上下底中点所在的直线是对称轴．（2）等腰梯形同一底边上的两个角相等．（3）等腰梯形的两条对角线相等．六.等腰梯形的判定：（1）同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形．（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．七.梯形的中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做三角形的中位线．（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于梯形的上下底，且等于上下底之和的一半．初二数学联赛班八年级2思维的发掘能力的飞跃典型例题一.正方形【例1】如图，正方形ABCD中，EBC△是正三角形，求∠EAD的度数．【例2】如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PEBC于E，PFCD于F，求证：APEF．【例3】如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，BF⊥CE于G交AD于F，求证：CE=BF．【例4】如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交于F，求证：CFDE．FDCBAPEGDCBAFEFEDCBAABCDE初二数学联赛班八年级3思维的发掘能力的飞跃【例5】如图，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH的中点，求证：ECCG。【例6】如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，3BE，2CE，点P在BD上，求PE与PC和的最小值．二.梯形【例7】已知，等腰梯形ABCD中，ADBC∥，BD平分ABC．（1）求证：ABAD．（2）若2AD，60C，求梯形的周长．【例8】如图，已知直角梯形ABCD，ADBC∥，腰DC的长为10cm，120D，则该梯形另一腰AB的长是多少？DCBAPECBDADCBAFGHEDCBA初二数学联赛班八年级4思维的发掘能力的飞跃【例9】等腰梯形的一角为120，上底为10，下底为30，则它的腰长是多少？【例10】如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，对角线AC、BD交于O，OBOC，求证：ABCD．【例11】如图，在等腰梯形ABCD中，已知//ADBC，对角线AC与BD互相垂直，且3cmAD，7cmBC，求等腰梯形的面积．【例12】如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，ADBC，10AB，4CD，延长BD至E，使DEBD，作EFAB交BA的延长线于点F，求AF的长度．DCAOBADBCOAEDCBF初二数学联赛班八年级5思维的发掘能力的飞跃【例13】如图，梯形ABCD中，1729108ABBCCDDA，，，，求对角线BD之长。【例14】如图，在直角梯形ABCD中，9045ADBCAC∥，，，CD的中垂线MN交BC边于P，交AB延长线于N，求证：ADBN。三.梯形的中位线【例15】如图，等腰梯形ABCD中，对角线ACBD，垂足为E，DFBC于F，MN是梯形的中位线，求证：DFMN．【例16】如图，梯形ABCD的中位线MN与对角线AC、BD分别交于点P、Q，设梯形ABCD的周长为a，四边形PQCD的周长为b．若2ABCD，试求ba的值．AQPNMDCBEFNMDCBADCBACNBAMDP初二数学联赛班八年级6思维的发掘能力的飞跃【例17】如图，ABC△外一条直线l，D、E、F分别是各边中点1AA、1FF、1DD、1EE都垂直l于1A、1F、1D、1E，求证：1111AAEEFFDD．【例18】如图，直角梯形ABCD中，90C，//ADBC，ADBCAB，E是CD的中点．若2AD，8BC，求ABE的面积．【例19】如图，梯形ABCD中，ADBC∥，对角线ACBD，且5cm12cmACBD，，求梯形的中位线的长度。BCEDAlFBADECDCBA初二数学联赛班八年级7思维的发掘能力的飞跃四.综合提高【例20】如图，等腰直角ABC△中，90ACB，D是BC的中点，CEAD于F交AB于E，求证：CDFBDE．【例21】如图所示，等腰梯形ABCD中，CDAB∥，对角线AC、BD相交于O，60ACD，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．（1）求证：PQS△是等边三角形；（2）若5AB，3CD，求PQS的面积．【例22】如图，E是正方形ABCD边AB边上任意一点，过E作DE的垂线交正方形的外角CBF的平分线于N，求证：DEEN．AQPODCBSNFBECADFDCBAE初二数学联赛班八年级8思维的发掘能力的飞跃【例23】Q是正方形ABCD的边CD的中点，作2BAPQAD，P在CD上．求证：APCPCB．【例24】如图，在梯形ABCD中，//ADBC，两条对角线相交于E，ABAC，且ABAC，BDBC，求证：CDCE．【例25】如图所示，ABCD是正方形，E为BF上的一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，则求EAB．ABCDEFPQDCBAEDCBA初二数学联赛班八年级9思维的发掘能力的飞跃【例26】如图，AD是ABC△的中线，分别以AB、AC为边向外作正方形ABEF、ACMN．求证：12ADFN．【例27】如图，直角梯形ABCD中，90BC，ABBC．M为BC边上一点，且45DMC．求证：ADAM．【例28】四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，E、F、B在一直线上．求证：AE、AF三等分CAB．MDCBAFCEDBAMNFECBA初二数学联赛班八年级10思维的发掘能力的飞跃【例29】如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，ACBD．求证：222()ACBDABDC．【例30】如图，梯形ABCD中，ABCD∥，90D，M为BC上一点，且BMMCCD，50DAM，求AMC．【例31】K是正方形ABCD的边AB的中点，点L分对角线AC的比为:3ALLC，证明：90KLD．LKDCBADBCAMCBDA初二数学联赛班八年级11思维的发掘能力的飞跃【例32】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，求证：AMAD．【例33】如图，直角梯形ABCD中，ADBC∥，ABBC，ABBC，E是AB上一点，AEAD，75CEB，求ECD．【例34】正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上的点，且AFBCCF．求证：2BAFBAE．MFEDCBAFEDCBAEDCBA初二数学联赛班八年级12思维的发掘能力的飞跃【例35】正方形ABCD对角线交于O，BAC的平分线交BD于G，交BC于F，求证：2CFOG．【例36】如图，在直角梯形ABCD中，90BC，ABBC．M为BC边上一点，且45DMC．求证：ADAM．【例37】在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，满足EFBEDF，AE、AF分别与对角线BD交于M、N．求证：（1）45EAF；（2）222MNBMDN．FGDCBAOMDCBAACBDNEFM初二数学联赛班八年级13思维的发掘能力的飞跃【例38】已知ABC△，向外作正方形ABEF和ACGH，直线AK垂直BC于K，反向延长交FH于M，求证：M是FH的中点．【例39】如图（1），在RtABC中，ABAC，点D、E是线段AC上两动点，且ADEC，AMBD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．（1）试判断DEF△的形状，并加以证明．（2）若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF△的形状，并说明理由．KCHFEBAMGMDFCENBA（1）（2）CBAFMEDN初二数学联赛班八年级14思维的发掘能力的飞跃作业1.判断下列说法正确的是（）A．四条边相等的四边形是正方形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形D．两条对角线互相垂直的矩形是正方形2.下列哪个图形不是轴对称图形（）A．等腰梯形B．等腰三角形C．矩形D．平行四边形3.等腰梯形四个内角之比可能是（）A．1:2:3:4B．3:2:2:3C．1:2:1:2D．1:2:3:24.如图，在四边形ABCD中，ABCD∥，ADBC，BDDC，ACBD于M．求证：1()2CMABDC．5.如图所示，正方形ABCD对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AOBO、交于MN、．试探讨BM与CN之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．MNCDOBAAMDCB初二数学联赛班八年级15思维的发掘能力的飞跃6.如图，在正方形ABCD中,E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBE．7.如图，梯形ABCD中，ADBC∥，点M是BC的中点，且MAMD，求证：四边形ABCD是等腰梯形．8.如图，设EF∥正方形ABCD的对角线AC，在DA延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF交于H，求证：AH正方形的边长．9.如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，ABCD，求证：DBCACB．HEGCDFBAFGEDCBADCAMBADBCO初二数学联赛班八年级16思维的发掘能力的飞跃10.如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，90A，E是AB的中点，且90CED．求证：E到CD的距离等于EA．11.在梯形ABCD中，ADBC∥（BCAD＞），90D，12BCCD，E在CD上，45ABE，若10AE，求CE的长．12.如图，90MON，在MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点1B是ON上任意一点，在MON的内部做正方形111ABCD．连结1CC，猜一猜1CCN的度数是多少？并证明你的结论；13.如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，ADCD，2BCCDAD，E是CD上一点，且45ABE，AD．求CE的长．DACONMECBDAEDCBAEDCBA