第一章----张量代数

第一章张量代数1.1指标记法与约定求和aaaaaaaaaxxxyxzyxyyyzzxzyzz111213212223313233aaaaaaaaaxVzVVy1V2V3Vxuyuzu1u2u3uija1指标记法kkSab111122133121122223323113223333aXaXaXbaXaXaXbaXaXaXb112233iiiiiiaXbaXbaXbkiikaXb自由指标：在方程中的各项中只出现一次的指标称为自由指标哑指标：某一指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，该指标称哑指标1122NNSabababEinstin求和约定：凡重复一次的指标，则表示对所有同类从1到N求和，N为空间维数。1NiiiiiSabab无特殊说明，本书总取i=3,N表示空间维数2约定求和把下面的式子写成约定求和的形式.ijijFAxxiiSab1122NNSababab1111112121313212122222323313132323333FAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxx21.2克罗内克（Kronecker）符号性质：定义：亦即：11223312213113322310ijjiijijaaikkjijikijkjAA1当i=j时ij0当ij时131a12231a3a3a1122333ii111213212223313233100010001ij1jja111122133aaa1a1kkjT111122133jjjTTT1jT请把下面的式子化简1.3置换符号ijke1当i，j，k为123偶次置换时-1当i，j，k为123奇次置换时0当i，j，k不为123的排列时定义：性质：iminilijkmnljmjnjlkmknklee证明：111213212223313233detAAAAAAAAAA123123123detiiiijkjjjkkkAAAeAAAAAAAijijA并令可以得证detiminilijklmnjmjnjlkmknklAAAeeAAAAAAAijklmkiljmjlimeeijklmkiljmkkjkkmjlimkkikkmeeklimjkikjm证明：33iljmiljmjlimjlimjlimiljmiljmjlim因为ilimikijklmkjljmjkklkmkkee=33!ijkijkee2ijkljkilee32ijkljkiljjjlijilililee证明：利用性质（2），将m换成j,可得到：证明：利用性质（3），将l换成i,可得到：23!ijkijkiijjjiijiiee1.4指标记法的计算1代入iimmllaVVCiimmaVbiimmbVCiimmmmaVVC?2乘积mmpabmmqcdnnmmpqabcd0ijjiTnniijjnn3因式分解4缩并使两个指标相等并对它们求和的运算成为缩并。()0ijijjTn32iiE32kkiiEE2iikkiiiiTEE解：2ijkkijijTEE111222333Sxyzxyzxyz将式子变成约定求和的形式jiiSxyz5矢量的点积ijijeeurur123,,eeeururur基本矢量：121323000eeeeeeurururururur112233111eeeeeeurururururur1eur2eur3eurVurxyziijjiiVUVeUeVUurururur123VVVVururuurur112233iiVeVeVeVeurururur123UUUUuruuruuruur112233jjUeUeUeUeurururur从几何的角度看：xyzxyzVVVUUU结果与上述相符例:VUurur求解xxyyzzVUVUVUiiVUijijkkeeeeururur123,,eeeururur基本矢量：1eur2eur3eurVurxyz6矢量的叉积根据右手定则得：123eeeururur213eeeururur321eeeururur231eeeururur110eeurur220eeurur330eeurur312eeeururur132eeeurururabcacbabcrrrrrrrrr证明：ijijkkababeerruriiaaerurjjbberuriijjijijkkabaebeabeerrururur例：求解abrr1.5张量的定义标量：在选定的测量单位下，只用一个不依赖于坐标系的数字表征其性质的量。例如：数学上的无名数、物理学上的质量、密度、温度等。ijkijkTeeeTururur三阶张量ijijTeeTurur二阶张量iiaaerur一阶张量（矢量）零阶张量张量的定义：矢量：在选定的测量单位下，用不依赖于坐标系的数字和方向表征其性质的量。例如：数学上的有向线段、物理学中的力、速度、加速度等。标量、矢量？？？不变性的记法（又叫抽象记法）：1T2并矢记法：ijkijkTeeeururur3分量的记法：ijkTa零阶张量123aaa一阶张量112233212223313233aaaaaaaaa二阶张量三阶张量张量的记法：P点在两直角坐标系、中123Pxxx'''123Pxxx新旧1x'2x'1x2x3x'3x11a22a31a32a33a23a12a13a21a'xx'yyz'z1l2m3l3m3n2n1m1n2l是新坐标基矢量与旧坐标基矢量夹角的方向余弦ija坐标变换变换矩阵ijijAaee应力矢量在坐标中，有：t'''123Pxxx'tAt'iijjtat应力张量在坐标中，有：'''123Pxxx'TAA'''111213111213111213112131'''212223212223212223122232'''313233313233313233132333aaaaaaaaaaaaaaaaaa1.6张量代数运算1张量的加减法ijkijkAeeeAurururijkijkBeeeBururur()ijkijkijkABeeeABururur同阶张量可以相加减2张量的并积()()ijkijkmnlmnlAeeeBeeeABurururuurururijkmnlijkmnlABeeeeeeurururuururur1)阶数不同的张量可以并积2)并积是有顺序的。3张量的缩并ijkijkAeeeAururur中的i、k缩并。对式子()ijkjikAeeeurururijkikjAeurijijAeur推广若A和B分别为m阶和n阶张量，则它们的并积为：))((1111nmmnmmmmiiiiiiiieeBeeAABnmnmiiiieeC11CnmmmnmiiiiiiBAC111其中：4张量的点积ijijAeeAururijijBeeBurur()()ijijmnmnAeeBeeABururuurur()ijmnijmnABeeeeururuururijmnjminABeeururijjninABeeurur点积一次，结果张量降低二阶ijijiiababab()()iijjabee()ijijabee若和分别为两个矢量，则它们的点积定义为：ab5双点积:():()ijijmnmnAeeBeeABururuururijmnimjnABijijAB6叉积最简单的情况是两个矢量a和b的叉积，即：kijijkeabe()()iijjabeeabijijabeeijijkkabee三个矢量a，b和c的叉积为：cbabcacba)()(证明：cbv设kjijkicbevvaw再令：()()qqpqqpacbabcqpqqqpabcabc()pjqkpkqjqjkabcpqiijkqjkeeabcppqiqiweavcbabcacba)()(即：()()ijijmnmnAeeBeeABururuurur()()ijijmkkmnnAeeeBeurururijmnjmkiknABeeeeururur两个张量叉乘一次所得张量的阶数比原两张量阶数和少一阶。三个矢量a，b，c的混合积定义为：ijkijmkmeabc()()ijkijkmmeabcee()abcabcijkijkeabc它表示棱边为a，b，c的棱柱体的有向体积例：7二阶张量的迹二阶张量TjiijTeeT张量T的迹可以写成：iiT()ijijtrTeetrTijijT()ijijTtree二阶张量的迹具有下列一些性质：设A和B为二个二阶张量，则：iiiiAB()ijijijAB()()ijijijABtreetrtrABBABAtrtrtr)(()trAB证明:miimiiBACtrtrCBA)(C其分量为：mjimijBACABD同样设：miimmiimiiBAABDtrtrDAB)()()(ABBAtrtr)()(ABBAtrtrBAC设证明:kimnimnAAAtrA上列两式分别为张量A的二阶矩和n阶矩miimAAtr2A1.7商法则ABC已知若A、是张量BC是张量若A、是张量CB是张量？商法则在任一卡氏直角坐标系中，若是任意p阶张量，它与q指标量连并为：其中是一个q-p阶张量，则必为q阶张量。ipiT1))(1(pqiqiXqppqiiiiiiQTX111iqipQ1)1(iqiXijA结论：任何一个张量都可以分解为一个对称张量和一个反对称张量这一项为反对称张量11()()22ijjiijjiAAAA1122ijijAA这一项为对称张量定义：ijjiTT对称张量ijjiTT反对称张量1.8仿射量ijijBeeBururiiaeaur111213212223313233BBBBBBBBBB123aaaa123aaa或()()ijijmmBeeaeBaururuur张量与矩阵相对应ijmjmiBaeurijjiBaeurijmn=ABAB111213123212223313233AAA=AAAAAAaaaaA112323b=bbaaaabijijTjiijAeeAeeAAurururur（1）将式子化成分量的形式AbiijaA（2）将式子写成点积或叉乘的的写法iijaA（3）将式子写成点积或叉乘的的写法ijkkijAaeijiAbAa()Aa的缩并仿射量的性质()TTTABAB()TTBBTaaBBrrTabbaBBrrrr()TTTBCCB1.８特殊张量ijijeeI