序贯实验设计

序贯实验设计☆系统实验设计法:对实验先进行系统全面设计，然后按步就班完成各个实验的研究。☆序贯实验设计法：有不少实验优化方向难以预见确定，下一步的实验方案往往要根据上一步的实验结果来设计，也即实验必须一个接着一个开展，时间上有先后，步骤上分前后。序贯实验设计法可分为登山法和消去法两类。•登山法是逐步向最优化目标逼近的过程，就象登山一样朝山顶(最高峰)挺进。2•消去法则是不断地去除非优化的区域，使得优化目标存在的范围越来越小，就象去水抓鱼一样逐步缩小包围圈，最终获得优化实验条件。1、单因素优选法优选法是以数学原理为指导，以尽可能少的实验次数找到最优实验方案的一类方法。一般在目标函数无明显表达式时采用，运用此方法可以节约大量的人力、物力和时间。例如在单因素实验设计的情况下，如果均分法需做1000次实验，则用优选法只需做14次左右实验就能达到同样的实验精度，所以这一方法在国内外各个领域中都得到了广泛应用。1.1黄金分割法黄金分割法，又称0.6l8法、折纸法。一般适用于对实验总次数预先不做规定、每次做一个实验的情况。[例7-1]为了改善某油品的性能，需在油品中加入一种添加剂，其加入量在200g／t到400g／t之间，试确定添加剂的最佳加入量。解：这里考察因素只有添加剂加入量一个，总实验次数不限，可采用0.618法：第一，确定第一个实验点。如图7-1(1)取一张纸条，其刻度为200～400g，在纸条全长的0.618处划一条直线，在该直线所指示的刻度上做第一次实验，即按323.6g做实验①。第二，确定第二个实验点。用对折法，以中点300g为准将纸条依中对折，如图7-1(2)所示，找出对折后与323.6g相对应的点划第二条线。第二条线的位置正好在纸条全长的0.382处，该点刻度276.4g，按276.4g做实验②。第三，比较两次实验①②的结果，若②比①效果好，则在323.6g处把纸条右边一段剪去（若①比②效果好，则在276.4g处把纸条左边一段剪去）。剪去一端，余下的纸条再重复上面的对折法，找出第三个实验点，该实验点为247.2g做实验③。如图7-1(3)所示。第四，比较实验②③的结果，如果仍然是②比③好，则将247.2g左边一段剪去，余下依中对折，找出第四个实验点294.4g做实验④。如图7-1(4)所示。第五，比较实验②④再剪去一端，按对折法，依次往后不断确定新的实验点。每往后进行一次实验，都比前一次更加接近所需要的加入量。本例共做了8次实验，实验⑤⑥⑦⑧在纸条上所示的位置分别为265.2g、283.2g、287.6g、280.8g，当做到第8次实验时，认为已取得较满意的结果，另外，剩余的实验范围已很小，重新实验的结果相差不大，因此可以终止实验。经过比较，最后获得添加剂的最佳加入量为280.8g。此法实验精度相当于均分法80多次，提高工效10多倍，节约了大量人力、物力。由上例可见：(1)0.618法是在给定的实验范围内确定的最佳点。若实验范围估算不准确，那么就会失去运用该方法的意义。因此需根据专业知识和实践经验仔细估算实验范围，以寻找出最佳的实验结果。(2)采用0.618法安排实验，每次剪掉的纸条长度都是上次的0.382；而留下来的是上次长度的0.618。“去短留长”无论剪掉左边还是右边，都将中间一段保留下来，而且随着实验的一次次进行，中间段的范围越来越小，实验过的较好点一步又一步接近实验所要寻求的最优点。(3)除了第1次需做2个实验外，其余每次只做一个新实验。(4)在实际操作时，每次实验所取数值的确定，可以采用以下简便公式计算：第一个实验点，应取数值为：小头+0.618(大头-小头)以后各次实验点应取数值为：(大头+小头-前次留下的实验点)，简单说就是：加两头，减中间。第一次实验点＝200+0.618(400-200)＝323.6第二次实验点＝400+200-323.6＝276.4第三次实验点＝323.6+200-276.4＝247.2第四次实验点＝323.6+247.2-276.4＝294.4[例7-2]某电化学反应中电流对电解产物的产率影响存在最佳值，试用黄金分割法确定最佳电流值，实验范围为5～40mA。解：实验过程如图7-2：②优于①；②优于③；②优于④；②优于⑤；⑥优于②，最佳电流值为19.56mA。6次实验误差19.56-18.37=1.19mA。采用均分法达到该精度的实验次数为(40-5)/1.19=29次。1.2分数法分数法的原理与0.618法完全一样。预先规定了实验总次数的情况，我们就要用分数法。分数法与0.618法的不同仅在于第一次实验点的选取方法不同。“菲比那契数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…递推关系：F1=1,F2=1,Fn+2=Fn+Fn+1，数列：1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,21/34，…的渐近数0.618。步骤如下：如实验范围已定，要求只做n次实验，分数法的第一个实验点是在实验范围全长的Fn+1/Fn+2位置进行。后面的实验点的选取，均按0.618法步骤依次进行，直到做完n次实验，即可得到n次实验中的最佳实验方案。[例7-3]某化学反应的反应温度范围为120～200℃，要求只进行4次实验，找出最好的实验结果。解：已知总实验次数：n＝4。由菲比那契数列得知Fn+2＝F6=8，Fn+1＝F5=5，于是按分数法应在实验范围总长的Fn+1/Fn+2=5/8处安排做第一次实验，即第一实验点①是在：l20+(200-120)´5/8＝170℃进行。用“加两头，减中间”计算可得第二次实验点②为：200+120-170＝150℃比较实验①、②结果，发现②好，去掉170℃以上部分，对余下部分求得第三实验点③为：170+120-150＝140℃即在第2等份处做实验③。比较实验②、③结果，仍是②好，去掉140℃以下部分，对余下部分求第四实验点为：170+140-150＝160℃在第4等份处做实验④，比较实验②、④结果，还是②好，故最后确定150℃是4次实验中较好的反应温度。[例7-4]某厂对锅炉结垢进行清洗，选用敲下来的垢片做实验，放入17％、10％的盐酸液内沸煮，17％的需要180min溶解，10%的需130min溶解。接着，又做了一次30％的实验，沸煮300min垢仍不溶解，说明高浓度不好。因此，决定选取2%～10%的区间，限定做4次实验，用分数法进行优选。解：把实验范围分8等份，先后在7％、5％、4％、6％的盐酸溶液中共做4次实验。比较各次实验结果，以采用6%的盐酸液除垢效果最佳。实验安排及实验结果见图7-4和表7-2。表7-2实验结果1.3对分法前面介绍的几种方法都是先做两个实验，再通过比较，找出最好点所在的倾向性来不断缩小实验范围，最后找到最佳点。但不是所有的问题都要先做两点，有时实验是朝一个方向进行的，无需对比两个实验结果。例如，称量质量为20～60g某种样品时，第一次砝码的质量为40g，如果砝码偏轻，则可判断样品的质量为40～60g，于是第二次砝码的质量改为50g，如果砝码又偏轻，则可判断样品的质量为50～60g，接下来砝码的质量应为55g，如此称下去，直到天平平衡为准。称量过程如图7-5所示。图7-5对分法实验过程这个称量过程中就使用了对分法(也叫平分法)，每个实验点的位置都在实验区间的中点，每做一次实验，实验区间长度就缩短一半，可见，对分法不仅分法简单，而且能很快地逼近最好点。但不是所有的问题都能用对分法，只有符合以下两个条件的时候才能使用。①要有一个标准（或具体指标）。对分法每次只有一个实验，如果没有一个标准，就无法鉴别实验结果是好是坏。在上述例子中，天平是否平衡就是一个标准。②要预知该因素对指标的影响规律。也就是说，能够从一个实验的结果直接分析出该因素的值是取大了还是取小了。如果没有这一条件就不能确定舍去哪段，保留哪段，也就无从下手做下一次实验。对于上例，可以根据天平倾斜的方向来判断是砝码重，还是样品重，进而756④1254③805②1057①解垢时间/min盐酸浓度/%实验号可以判断样品的质量范围，即实验区间。[例7-5]某润滑油加入66‰的复合剂后质量符合要求，为了降低成本，在保证润滑油质量的前提下，试选择复合添加剂的最佳加入量。解：实验可使用对分法进行安排。假如当复合添加剂加入量小于18‰时，该种润滑油质量即不合格，故实验范围为18‰～66‰。在这范围内对分取其中点，即添加剂加入量为42‰时做第一次实验，如果质量仍然合格，则含去42‰～66‰这一段，在余下的18‰～42‰中再取中点，即30‰做第二次实验，结果如不合格，则舍去18‰～30‰这一段；在30‰～42‰这一段再取中点进行实验，直到找到最佳点为止。参见图7-6。由于对分法每次舍去的将是原来实验范围的一半，因此较之0.618法可以缩短整个实验的总周期。1.4抛物线法不管是黄金分割法，还是分数法，都是通过比较两个实验结果的好坏，逐步找出最好点。如果实验结果是定量处理的，那么显然实验结果的数值，即目标函数值本身的大小，并没有在优化方案中被考虑利用。抛物线法是根据已得的三个实验数据，找到这三点的抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下次实验的根据。用抛物线法可使实验进一步深化，对最优点的位置作出更准确的估计。如图7-7所示，设在x1、x2、x3三点上做实验，其结果分别为y1、y2、y3。通过x-y平面上的三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）作抛物线逼近曲线，抛物线的顶点（x0，y0）就可能近似于实验曲线的最优点。如果将下次实验安排在抛物线顶点的横坐标x0处，便可得到最佳的实验结果y0，此方法常被称为优选法的“最后一跃”。用拉格朗日插值法可以可得通过上述三点的抛物线方程为：y=y1(x-x2)(x-x3)(x1-x2)(x1-x3)++y2y3(x-x1)(x-x3)(x2-x1)(x2-x3)(x-x1)(x-x2)(x3-x1)(x3-x2)抛物线的顶点横坐标为在x=x0处得到实验结果y0后，若需继续实验，则在（x0，y0）和它相近的两点做新的抛物线，以求最优点。此方法最适用于中间高、两头低，或中间低、两头高的二次抛物线情况。粗略地说，如果穷举法（在每个实验点上都做实验）需要做n次实验，达到同样的效果，黄金分割法只要数量级lgn次就可以达到，抛物线法效果更好些，只要数量级lglgn次。2多因素优选法2.1最陡坡法众所周知，登山时若沿最陡坡攀登，路线将最短。实验指标的变化速度，也可看作是一种“坡度”；最陡坡法，就是要沿实验指标变化最快的方向寻找最优条件。(1)实验步骤①查找最陡坡利用多因素二水平正交实验，可以获得各因素的极差值。极差的相对大小，反映了因素的水平变化对实验指标的影响程度，也即因素效应的相对大小。因素的效应代表了该方向上指标的变化率，即坡度。调优过程中，应使各因素水平的变动幅度与各自效应的大小成比例，这就是最陡坡。②沿最陡坡登山沿着已确定的最陡方向安排一批试点，逐步调优，直至实验指标不再改进为止。③检验顶点位置以登山时找到的最优试点为中心，重新安排一组正交实验，检验该处是否已达“山顶”，如果不是，就要找出新的最陡方向，继续登山。[例7-9]某褐铁矿试样，粒度0.1～3mm，品位41%(Fe)，可淘汰法分选，要求精矿品位49%～50%(Fe)，用最陡坡法寻求最优工艺操作条件。解：先要查找最陡坡。需考查的因素为：人工床层厚度(A)，mm；筛下水量(B)，m3／(m2×h）；冲程(C)，mm；试料层厚度(D)，mm。利用2水平正交实验寻找最陡坡。选用正交表L8(27)，安排四个因素。这样的实验设计方案可保证全部主效应均不被混杂，而仅交互作用项相互混杂，因而有利于正确地找到最陡坡。基点（中心点）的实验条件定为:A0=60mm;B0=7.06m3／(m2×h）；C0=7.5mm;D0=45mm。步长——相邻两实验点间取值的间距。由于基点的水平编码为0，故它同高水平点(+1)和低水平点(-1)的间距均为“半步”。设以S表示步长，各因素的步长定为:SA=30mm;