债券久期与风险免疫

金融工程课程1第九章债券久期的基本概念【本章学习要点】久期是债券投资及其风险管理的重要概念。本章涉及的其他重要概念有：麦考利久期、修正久期、美元久期、凸度及风险免疫等。要求掌握和理解久期的计算及其数学解释、久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系等；对将久期概念应用到债券组合资产的风险免疫有一定的理解和认识。金融工程课程2第一节麦考利久期一、债券价格与市场利率的关系二、麦考利久期（MacaulayDuration）的计算三、修正久期、美元久期及债券价格变化估计四、久期的数学解释五、凸度第二节久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系一、久期与债券到期期限的关系二、久期与市场利率之间的关系三、久期与债券票息率之间的关系第三节债券的风险免疫一、久期与债券的风险免疫二、债券组合的久期与免疫资产的组合三、免疫债券组合的免疫分析四、实践中存在的问题金融工程课程3第一节麦考利久期久期是固定收益类证券的风险管理工具之一。对防范债券风险提供了一个量化参考指标，通过免疫技术可以将大部分风险予以消除。一、债券价格与市场利率的关系（１）较长期限的债券价格变动幅度大于较短期限的债券价格变动幅度。（２）息票额较大的债券的变动幅度较小。对于各种不同期限、不同票息额的债券，能否找到一种共同具备的特征量，由该特征量就可以简单比较出不同债券的价格变化呢？答案是存在的，即每一种债券都存在一个叫做“久期”的特征量。“久期”是资产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产对于利率波动的敏感性是一致的。金融工程课程4久期的定义及其用途（１）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。（２）风险管理。金融工程课程5二、麦考利久期（MacaulayDuration）的计算（１）麦考莱久期估算法将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值的比率。MttMttPtPD11＝总现值时间加权现值金融工程课程6BtMtttMttttttMttBMtttMtttMtttMPPPPiCiCWtWPitCiCitCD111111)1/()1/()1/()1/()1/(金融工程课程7例题9-1：一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。市场利率为8％。债券的到期期限为6年。计算该债券的久期。解：itCM＝8%＝9元＝6表9－1例题9-1久期的计算MD时间t票息额Ct折现因子1/(1+i)t折现值Ct/(1+i)t时间的加权值t×Ct/(1+i)t1.009.000.938.338.332.009.000.867.7215.433.009.000.797.1421.434.009.000.746.6226.465.009.000.686.1330.636.009.000.635.6734.036.00100.000.6363.02378.10加总104.62514.42=(514.42/104.62)=4.92金融工程课程812345670久期本金归还息票支付7年期７％债券12345670久期7年期14％债券现金流量现值三、修正久期、美元久期及债券价格变化估计金融工程课程9iDDM1*D*称为修正久期两个常用术语：D**(美元久期)＝D*(修正久期)×PBPB－－－债券的现行价格，ΔPB－－－债券的价格变动D－－－债券的久期；Δi－－－－预期利率的变动iPDPBB*(1)(2)(3)(4)金融工程课程10的推导tttBiCP)1(因为，ttttttBitCiitCdidP)1()1(1)1(1diiDdiPiitCPdPMBtttBB)1()1())1((iPDPBB*金融工程课程11因为，diiDPdPMBB)1(diPDdPBB*iDiPDPBB***金融工程课程12例题9-2：已知某种债券当前的市场价格为125美元，当前的市场年利率为5％，债券的久期为4.6年，求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价格将发生怎样的市场变化？解：BPiMDi美元3.2004.01256.4iPDPBMB＝125美元＝5％＝4.6年＝＋0.004更加精确的计算结果为：美元19.205.1004.01256.4)1(iiPDPBMB金融工程课程13四、久期的数学解释市场利率的波动是债券价格变动的主要原因。如果将债券的价格看成是市场利率的函数，记为，)(iPPBBididPPBBiPdidPPPBBBBBBPdidPDiPDPBB债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利率的变化金融工程课程14五、凸度久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；cc’△i-△ii0PBiaa’bb’ABCDEFG金融工程课程15五、凸度久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；222)(21idiPdididPPBBB222)(21iPdiPdiPdidPPPBBBBBBBBBPdiPdC222)(21iCiDPPBBBTttBBBBiCttiPdiPdPC)1()1()1(11222令CB表示凸度金融工程课程16五、凸度例9-3：一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。债券的到期期限为6年。计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及债券市场价格的估计变化。市场利率％债券的价格PB修正久期D*近考虑久期的价格变化△PB凸度CB近考虑久期与凸度的价格变化△PB两种债券价格变化估计的差差距3.00132.504.67-3.1028.43-3.05-0.055.00120.304.63-2.7828.04-2.74-0.048.00104.624.55-2.3827.45-2.35-0.0310.0095.644.50-2.1527.04-2.12-0.03金融工程课程17第二节久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系一、久期与债券到期期限的关系零息票债券的久期等于到它的到期时间如果给定市场利率和票息率，久期与债券到期期限的关系：债券的到期期限越长，久期也越长。下图表示出，当市场利率为8％，而票息率为7%的债券的久期随着到期期限的变化关系。0246810123456789101112131415到期期限久期金融工程课程18二、久期与市场利率之间的关系如果给定债券的票息率，久期与市场利率之间的关系是：市场利率越低，久期越长。图9-3表示，票息率为7%的债券的久期随着市场利率的变化关系。024681012123456789101112131415债券到期期限久期市场利率1%市场利率5%市场利率9%金融工程课程19三、久期与债券票息率之间的关系如果给定市场利率，久期与债券票息率之间的关系是：票息率越低，久期越长。图9-4表示，市场利率为7%的债券的久期随着债券票息率的变化关系。024681012123456789101112131415债券到期期限久期票息率5%票息率7%票息率9%金融工程课程200.050.080.10.120.1421.951.9251.9091.8951.88154.4884.2814.174.0743.991107.6617.0446.7596.5366.358159.6488.7418.3678.0917.882010.7419.7469.3659.0958.893到期年限息票率久期债券久期值的变化（收益率7%）金融工程课程21第三节债券的风险免疫一、久期与债券的风险免疫大型基金管理机构或保险公司两个重要金融目标：•要在现在对资产组合于将来某一特定时点的价值进行保值；•对于投资要获得预定的年收益率（一般要等于现行到期收益率）免疫的概念：市场利率的变动不影响资产组合的期末价值，资产组合具有免疫性；在投资期末，资产组合的总价值等于投资期初预计的价值；金融工程课程22零息债券显然是具有免疫的。因为它没有息票收入的再投资。零息债券的久期等于债券的期限。因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键金融工程课程23二、债券组合的久期与免疫资产的组合债券组合的久期就是资产组合中所有单项债券久期的权重平均值，权重即为单项债券的市值与总的资产组合的市值之比28.6PD28.65.711102803.611105301.51110300PD债券市值（万元）久期A3005.1B5306.3C2807.5债券组合1110金融工程课程24二、债券组合的久期与免疫资产的组合如果某投资机构面临这样的一个问题：三年后有一笔现金流出，需支付10,000,000美元；他可以考虑的投资债券有两种：假设目前市场利率为8％；第一种债券的期限为1年，息票利息率为6％，当前市场价格为98.15美元（面值为100美元，98.15美元＝106美元/（1＋8％）），其久期为1年；第二种债券是例题9－1所示的债券，它的久期4.92年，其当前的市场价格为104.62美元。EDDwDw2211121ww1w2w=0.4898=0.5102金融工程课程25当前需要投资债券的金额应当是7,938,322.30美元（10000000/(1+8%)3）3888190.26美元（7,938,322.30×）用来购买第一种债券；约购买面值100美元的该种债券约39614.78张（3888190.26/98.15）1w4050132.04美元（7,938,322.30×）用来购买第二种债券；约购买面值100美元的该种债券约38712.79张（4050132.04/104.62）2w这样的投资组合免疫效果如何？金融工程课程26三、免疫债券组合的免疫分析表9-4债券组合的利率风险免疫效果债券组合在久期时点的市场价值（美元）假设1年后的市场利率7％8％9％3年到期时点第一种债券的价值＝106×39614.78张×(1+i％)24807625.934897908.024989029.93第二种债券在第1年年末的利息再投资价值＝9×38712.79×(1+i％)2398900.46406391.38413951.99第二种债券在第2年年末的利息再投资价值＝9×38712.79×(1+i％)372804.17376288.32379772.47第二种债券在第3年年末的利息＝9×38712.79348415.11348415.11348415.11第二种债券在第3年年末的出售价格＝109×38712.79/(1+i％)3+9×38712.79/(1+i％)2+9×38712.79/(1+i％)4074468.193971045.613871279.00在3年时点的债券组合价值10002213.8610000048.4410002448.50金融工程课程27（1）利率上涨导致债券资产价值损失；（2）利率上涨债息收入再投资收益率上涨；资产组合到期复收益率（RCYTM)realizedcompoundyieldtomaturity金融工程课程28（1）债息收入再投资收益率不变1000总值0DM时间$债券价格金融工程课程29（2）债息收入再投资收益率上涨1000再投资收益增加0DM时间$价格损失债券价格金融工程课程30（2）债息收入再投资收益率下跌1000再投资收益减少0DM时间$价格上升债券价格金融工程课程31四、实践中存在的问题免疫债券组合需要经常进行动态调整当可投资的债券比较多时，如何选择债券来构造债券组合？上面方程组仅包括两个方程，要求解的变量有n个，所以有许多个解。一是选择收益率高的债券，原因是构成的成本低；二是选择债券本身的久期与保值期限比较近的债券EiiniDDw)(111niiw金融工程课程32本章小结：本章讲述了有