2016年高中数学联赛试题答案

2016年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设实数a满足3911aaaa−，则a的取值范围是．答案：2310,33a∈−−．解：由aa可得0a，原不等式可变形为391111aaaaa−=−，即219111a−−，所以2104,93a∈．又0a，故2310,33a∈−−．2.设复数,zw满足3,74izzwzw，其中i是虚数单位，,zw分别表示,zw的共轭复数，则22zwzw的模为．答案：65．解：由运算性质，2274izwzwzwzwzw，因为2z与2w为实数，Re0zwzw，故227,4izwzwzw，又3z，所以22w．从而222242988i18izwzwzwzwzw．因此，22zwzw的模为221865．3.正实数,,uvw均不等于1，若loglog5uvvww，loglog3vwuv，则logwu的值为．答案：45．解：令log,loguvvawb，则11log,logvwuvab，logloglogloguuuvvwvvwaab，条件化为115,3aabbab，由此可得54ab．因此14logloglog5wwvuvuab．4.袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值1之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为．答案：935．解：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而5510ab≤+=．故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为23C3=．又此时2ba=，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有2273CC18−=种取法．因此，所求的概率为2257318549==CC102135×××．5.设P为一圆锥的顶点，,,ABC是其底面圆周上的三点，满足90ABC，M为AP的中点．若1,2,2ABACAP，则二面角MBCA的大小为．答案：2arctan3．解：由90ABC知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则PO平面ABC．易知112AOAC，进而221POAPAO．设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作HKBC于点K，则由三垂线定理知MKBC，从而MKH为二面角MBCA的平面角．因12MHAH，结合HK与AB平行知，34HKHCABAC，即34HK，这样2tan3MHMKHHK．故二面角MBCA的大小为2arctan3．6.设函数44()sincos1010kxkxfx，其中k是一个正整数．若对任意实数a，均有()1()fxaxafxxR，则k的最小值为．答案：16．解：由条件知，22222()sincos2sincos10101010kxkxkxkxfx211231sincos25454kxkx，其中当且仅当5()mxmkZ时，()fx取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间(,1)aa至少包含一个最大值点，从而51k，即5k．反之，当5k时，任意一个开区间(,1)aa均包含()fx的一个完整周期，此时()1()fxaxafxxR成立．综上可知，正整数k的最小值为5116．27.双曲线C的方程为2213yx，左、右焦点分别为1F、2F．过点2F作一直线与双曲线C的右半支交于点,PQ，使得190FPQ，则1FPQ的内切圆半径是．答案：71．解：由双曲线的性质知，122134FF，12122PFPFQFQF．因190FPQ，故2221212PFPFFF，因此2221212122()()PFPFPFPFPFPF2224227．从而直角1FPQ的内切圆半径是111212111()()()71222rFPPQFQPFPFQFQF．8.设1234,,,aaaa是1,2,,100中的4个互不相同的数，满足2222222123234122334()()()aaaaaaaaaaaa，则这样的有序数组1234(,,,)aaaa的个数为．答案：40．解：由柯西不等式知，2222222123234122334()()()aaaaaaaaaaaa，等号成立的充分必要条件是312234aaaaaa，即1234,,,aaaa成等比数列．于是问题等价于计算满足1234{,,,}{1,2,3,,100}aaaa⊆的等比数列1234,,,aaaa的个数．设等比数列的公比1q，且q为有理数．记nqm，其中,mn为互素的正整数，且mn．先考虑nm的情况．此时331413annaamm，注意到33,mn互素，故13alm为正整数．相应地，1234,,,aaaa分别等于3223,,,mlmnlmnlnl，它们均为正整数．这表明，对任意给定的1nqm，满足条件并以q为公比的等比数列1234,,,aaaa的个数，即为满足不等式3100nl的正整数l的个数，即3100n．由于35100，故仅需考虑342,3,,4,23q这些情况，相应的等比数列的个数为10010010010010012331120827276464．当nm时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列1234,,,aaaa．综上可知，共有40个满足条件的有序数组1234(,,,)aaaa．3二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC中，已知23ABACBABCCACB．求sinC的最大值．解：由数量积的定义及余弦定理知，222cos2bcaABACcbA．同理得，2222acbBABC，2222abcCACB．故已知条件化为2222222222()3()bcaacbabc，即22223abc．…………………8分由余弦定理及基本不等式，得22222221(2)3cos22abababcCabab36abba22363abba，所以27sin1cos3CC=−≤，…………………12分等号成立当且仅当::3:6:5abc．因此sinC的最大值是73．…………………16分10.（本题满分20分）已知()fx是R上的奇函数，(1)1f，且对任意0x，均有()1xfxfxx．求1111111(1)1002993985051ffffffff的值．解：设1(1,2,3,)nafnn，则1(1)1af．在()1xfxfxx中取*1()xkkN，注意到111111kkxxk，及()fx为奇函数，可知111111fffkkkkk，……………5分即11kkaak．从而11111111(1)!nnknkkkaaaakn．………………10分因此50504910111011(1)!(100)!!(99)!iiiiiaaiiii4984949999999999900111112CCC299!99!299!299!iiiii．………………20分11.（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点、O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且2PQ．圆12,CC均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切．求点F的坐标，使圆1C与2C的面积之和取到最小值．解：设抛物线C的方程是22(0)ypxp，点Q的坐标为(,0)(0)aa，并设12,CC的圆心分别为111222(,),(,)OxyOxy．设直线PQ的方程为(0)xmyam，将其与C的方程联立，消去x可知2220ypmypa．因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为224420pmpa，解得2amp．进而可知，点P的坐标为(,)(,2)PPxyapa．于是2210122(2)PaPQmypaapap．由2PQ可得2424apa．①………………5分注意到OP与圆12,CC相切于点P，所以12OPOO．设圆12,CC与x轴分别相切于点,MN，则12,OOOO分别是,POMPON的平分线，故1290OOO．从而由射影定理知2121212yyOMONOPOPOP2222PPxyapa．结合①，就有2212243yyapaa．②………………10分由12,,OPO共线，可得111112222222PPypayyOPOMyyyPOONypay，化简得5121222yyyypa．③………………15分令2212Tyy，则圆12,CC的面积之和为T．根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况．根据②、③可知，222121212124()222Tyyyyyyyypa22222224(43)(2)(43)2(43)441aaaaaa．作代换21ta．由于244420tapa，所以0t．于是(31)(1)1134234234ttTttttt．上式等号成立当且仅当33t，此时1113at．因此结合①得，213121333313patta，从而F的坐标为1,0,0233p．………………20分62016年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、（本题满分40分）设实数122016,,,aaa满足21911(1,2,,2015)iiaai+=．求222212232015201620161()()()()aaaaaaaa−⋅−⋅⋅−⋅−的最大值．解令222212232015201620161()()()()Paaaaaaaa=−⋅−⋅⋅−⋅−．由已知得，对1,2,,2015i=，均有2221111109iiiiaaaa+++−−≥．若2201610aa−≤，则0S≤．…………………10分以下考虑2201610aa−的情况．约定20171