第2章-单因素优选法

1掌握单因素试验设计的常用方法2单因素优选法----本章主要内容22单因素优选法优选法概念优选法就是根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。优选法可以解决那些试验指标与因素间不能用数学形式表达，或虽有表达式但很复杂的那些问题。假定f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，但f(x)的表达式是并不知道的，只有从试验中才能得出在某一点x0的数值f(x0)。应用单因素优选法，就是用尽量少的试验次数来确定f(x)的最佳点。32单因素优选法2.1均分法它是在试验范围[a,b]内，根据精度要求和实际情况，均匀地排开试验点，在每一个试验点上进行试验，并相互比较，以求得最优点的方法。作法：如试验范围L＝b－a，试验点间隔为N，则试验点n为(包含两个端点)：1Nab1NLn42单因素优选法2.1均分法例2-1对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范围为420转/分~720转/分，拟经过试验找出能使光洁度最佳的砂轮转速值。N=30转/分n=————+1=——————+1=11b-aN720-42030试验转速：420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720★52单因素优选法2.1均分法使用范围：这种方法的特点是对所试验的范围进行“普查”，常常应用于对目标函数的性质没有掌握或很少掌握的情况。即假设目标函数是任意的情况，其试验精度取决于试验点数目的多少。62单因素优选法2.2平分法(对分法)平分法：适用于试验范围(a,b)内，目标函数为单调（连续或间断）的情况下，求最优点的方法。ab图2-1连续单调f(x)abf(x)图2-2间断单调72单因素优选法2.2平分法(对分法)每次选取因素所在试验范围（a,b）的中点处C做试验。计算公式：C=—————（a+b)2d=—————（c+b)2×abcd×★每试验一次，试验范围缩小一半，重复做下去，直到找出满意的试验点为止。根据试验结果，如下次试验在高处（取值大些），就把此试验点（中点）以下的一半范围划去；如下次试验在低处（取值小些），就把此试验点（中点）以上的一半范围划去。82单因素优选法2.2平分法(对分法)例2-2乳化油加碱量的优选。高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1％，需加热处理4小时，但知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会皂化，所以加碱量优选范围为1％~4.4％。解：过程见书P37。92单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)本方法是在试验范围［a,b］内，首先安排两个试验点，再根据两点试验结果，留下好点，去掉不好点所在的一段范围，再在余下的范围内寻找好点，去掉不好的点，如此继续地作下去，直到找到最优点为止。102单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)0.618法要求试验结果目标函数f(x)是单峰函数，即在试验范围内只有一个最优点d，其效果f(d)最好，比d大或小的点都差，且距最优点d越远的试验效果越差。112单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----由来1设x1和x2是因素范围［a,b］内的任意两个试点，C点为问题的最优点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，把效果较差的点称为差点。则：最优点与好点必在差点同侧，因而我们把因素范围被差点所分成的两部分中好点所在的那部分称为存优范围。即可以去掉不包含好点的一段，只留下存优范围。如何安排两个试验点？合理地缩小存优范围122单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----由来2安排两个试点时应该使两个试点关于因素范围的中点对称----对称原则。则无论哪点差，划去的长度都一样。3最好每次舍去的区间都能占舍去前全区间同样的比例数（“成比例地舍去”原则）。132单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----由来两个试验点位置的确定：设第一次舍去的长度为x，则：)(21度去掉第一段后剩余的长即第二次总长度即第二次舍去的长度即第一次总长度即第一次舍去的长度x)ab(xx)xa()xb(axxxabx121142单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----由来)(x)ab(xx)xa()xb(abx21度去掉第一段后剩余的长即第二次总长度即第二次舍去的长度即第一次总长度即第一次舍去的长度它的左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍去的比例数。对这个等式进行变形可得0)()(322abxabx整理可得x＝0.382(b－a)0.618或(1－0.618)＝0.382这正是黄金分割常数。152单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----做法第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上，第二个试验点x2取成x1的对称点，则：x1＝(大－小)×0.618＋小＝(b－a)×0.618＋ax2＝(大＋小)－第一点(即前一点)＝(b＋a)－x1第三个试验点的安排有三种情形：162单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----做法(1)x1是好点，则划去（a,x2），保留（x2,b）。x1的对称点x3，在x3安排第三次试验。x3＝大＋小－前一点＝b＋x2－x1172单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----做法(2)x2是好点，则划去（x1,b），保留（a,x1）。第三个试验点x3应是好点x2的对称点。x3＝大＋小－前一点＝x1＋a－x2182单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----做法(3)如果f(x1)和f(x2)一样，则应该具体分析，看最优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同时划掉（a,x2）和（x1,b），仅留中点的(x2,x1)，把x2看成新a，x1看成新b，然后在范围（x2,x1）内0.382、0.618处重新安排两次试验试验。192单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----做法无论何种情况，在新的范围内，又有两次试验可以比较。根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在留下的范围中再找好点的对称点，安排新的试验。这个过程重复进行下去，直到找出满意的点，得出比较好的试验结果；或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不大时也可终止试验。202单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----例例2-3炼某种合金钢，需添加某种化学元素以增加强度，加入范围是1000~2000克，求最佳加入量。第一步先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验x1＝(大－小)×0.618＋小＝a＋(b－a)×0.618＝1000＋(2000－1000)×0.618＝1618克第二步第（2）个试验点由公式（2-4）计算x2＝大＋小－第一点＝2000＋1000－1618＝1382克212单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----例x1＝1618克x2＝1382克第三步比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉[1000,1382]那一段范围。留下[1382,2000]，则：x3＝大＋小－第一点＝1382＋2000－1618＝1764克第四步比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3）处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围，……如此反复，直到得到较好的试验结果为止。222单因素优选法2.3黄金分割法(0.618法)----例可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到所需精度即可。232单因素优选法2.4分数法适用范围：试验要求预先给出试验总数(或者知道试验范围和精确度，这时试验总数就可以算出来)。在这种情况下，用分数法比0.618法方便，且同样适合单峰函数的方法。裴波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…用F0、F1、F2、…依次表示上述数串，它们满足递推关系：Fn＝Fn-1＋Fn-2(n≥2)242单因素优选法2.4.1分数法1所有可能的试验总数正好是某个Fn-1：第一步：前两个试验点放在试验范围的Fn-1、Fn-2的位置上，也就是先在第Fn-1、Fn-2点上做试验。比较这两个试验的结果，如果第Fn-1点好，划去第Fn-2点以下的试验范围；如果第Fn-2点好，划去Fn-1点以上的试验范围。252单因素优选法2.4.1分数法1所有可能的试验总数正好是某个Fn-1：第二步：在留下的试验范围中，还剩下Fn-1－1个试验点，重新编号，其中第Fn-2和Fn-3个分点，有一个是刚好留下的好点，另一个是下一步要做的新试验点，两点比较后同前面的做法一样，从坏点把试验范围切开，短的一段不要，留下包含好点的长的一段，这时新的试验范围就只有Fn-2－1试验点。以后：以后的试验，照上面的步骤重复进行，直到试验范围内没有应该做的好点为止。262单因素优选法2.4.1分数法----例2-4例2-4卡那霉素生物测定培养温度试验。卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为37±1℃，培养时间在16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为29～50℃，精确度要求±1℃，中间试验点共有20个，用分数法安排试验。解：由题意可知，试验总次数为20次，正好等于F7－1。试验过程如书P43图2-8所示27卡那霉素发酵液测定，国内外都规定培养温度为37±1℃，培养时间在16h以上。某制药厂为缩短时间，决定进行试验，试验范围为29~50℃，精确度要求±1℃，中间试验点共有20个，用分数法安排试验。282单因素优选法2.4.1分数法----例2-4(1)第①个试验点选在13个分点42℃；第②个试验点在第8个分点37℃。发现①点好，划去8分点以下的，再重新编号；(2)①和③比较，①好，划去8分点以上的，再重新编号；(3)①和④比较，①好，划去3分点以下的，再重新编号；(4)①和⑤比较，⑤好，划去2分点以下的，再重新编号；(5)⑤和⑥比较，⑤好，试验结束，定下43±1℃，只需8~10h。说明：F7＝21，因而最多只需做7－1＝6次试验。292单因素优选法2.4.2分数法2所有可能的试验总数大于某个Fn-1而小于Fn+1-1：只在要试验范围之外虚设几个试验点，凑成Fn+1－1个试验，就化成2.4.1节的情形。对于虚设点，并不真正做试验，直接判断其结果比其他点都坏，试验往下进行，很明显，这种虚设点，并不增加实际试验次数。302单因素优选法2.4.2分数法----例2-5例2-5假设某混凝沉淀试验，所用的混凝剂为某阳离子型聚合物与硫酸铝，硫酸铝的投入量恒定为10mg/L，而某阳离子聚合物的可能投加量分别为0.10、0.15、0.20、0.25、0.30mg/L，试利用分数法来安排试验，确定最佳阳离子型聚合物的投加量。312单因素优选法2.4.2分数法----例2-5解：根据题意可知，可能的试验总次数为5次。由裴波那契数列可知，F5－1＝8－1＝7F4－1＝5－1＝4故F4－1＝4＜5＜F5－1＝7(1)首先需要增加两个虚设点，使其可能的试验总次数为7次，虚设点可以安排在试验范围的一端或两端。假设安排在两端，即一端一个虚设点，如图2-9所示。322单因素优选法2.4.2分数法----例2-533(2)第①个试验点选在第5个分点0.25mg/L；第②个试验点在第3个分点0.15mg/L。假设①点好，划去3分点以下的，再重新编号；(3)①和③比较，假设③好，划去2分点以下的，再重新编号；(4)此时第④个试验点为虚设点，直接认定它的效果比③差，即③好。试验结束，定下该阳离子型聚合物的最佳投加量为0.30mg/L。342单因素优选法2.4分数法----例分数法与0.618法的区别只是用Fn-1和Fn-2代替0.618和0.382来确定试验点，