2015年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.设,ab为不相等的实数,若二次函数2()fxxaxb满足()()fafb,则(2)f的值为.答案:4.解:由已知条件及二次函数图像的轴对称性,可得22aba,即20ab,所以(2)424fab.2.若实数满足costan,则41cossin的值为.答案:2.解:由条件知,2cossin,反复利用此结论,并注意到22cossin1,得22421cossincossinsinsin2(1sin)(1cos)22sincos2.3.已知复数数列{}nz满足111,1i(1,2,)nnzzznn,其中i为虚数单位,nz表示nz的共轭复数,则2015z的值为.答案:20151007i.解:由已知得,对一切正整数n,有2111i1i11i2innnnzznznnz,于是201511007220151007iizz.4.在矩形ABCD中,2,1ABAD,边DC上(包含点D、C)的动点P与CB延长线上(包含点B)的动点Q满足DPBQ,则向量PA与向量PQ的数量积PAPQ的最小值为.答案:34.解:不妨设(0,0),(2,0),(0,1)ABD.设P的坐标为(,1)t(其中02t≤≤),则由DPBQ得Q的坐标为(2,)t,故(,1),(2,1)PAtPQtt,因此22133()(2)(1)(1)1244PAPQtttttt.当12t时,min34PAPQ.5.在正方体中随机取3条棱,它们两两异面的概率为.答案:255.解:设正方体为ABCDEFGH,它共有12条棱,从中任意取出3条棱的方法共有312220C种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向(即AB、AD、AE的方向),具有相同方向的4条棱两两共面,因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB方向的棱,这有4种取法.不妨设取的棱就是AB,则AD方向只能取棱EH或棱FG,共2种可能.当AD方向取棱是EH或FG时,AE方向取棱分别只能是CG或DH.由上可知,3条棱两两异面的取法数为428,故所求概率为8222055.6.在平面直角坐标系xOy中,点集(,)36360Kxyxyxy所对应的平面区域的面积为.答案:24.解:设1(,)360Kxyxy.先考虑1K在第一象限中的部分,此时有36xy,故这些点对应于图中的OCD及其内部.由对称性知,1K对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部.同理,设2(,)360Kxyxy,则2K对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部.由点集K的定义知,K所对应的平面区域是被1K、2K中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S.由于直线CD的方程为36xy,直线GH的方程为36xy,故它们的交点P的坐标为33,22.由对称性知,138842422CPGSS.7.设为正实数,若存在,(2)abab,使得sinsin2ab,则的取值范围是.答案:9513,,424.解:由sinsin2ab知,sinsin1ab,而[,][,2]ab,故题目条件等价于:存在整数,()klkl,使得22222kl.①当4时,区间[,2]的长度不小于4,故必存在,kl满足①式.当04时,注意到[,2](0,8),故仅需考虑如下几种情况:(i)5222,此时12且54,无解;(ii)59222,此时有9542;(iii)913222,此时有13942,得1344.综合(i)、(ii)、(iii),并注意到4亦满足条件,可知9513,,424.8.对四位数(19,0,,9)abcdabcd,若,,abbccd,则称abcd为P类数;若,,abbccd,则称abcd为Q类数.用()NP与()NQ分别表示P类数与Q类数的个数,则()()NPNQ的值为.答案:285.解:分别记P类数、Q类数的全体为A、B,再将个位数为零的P类数全体记为0A,个位数不等于零的P类数全体记为1A.对任一四位数1abcdA,将其对应到四位数dcba,注意到,,1abbccd,故dcbaB.反之,每个dcbaB唯一对应于1A中的元素abcd.这建立了1A与B之间的一一对应,因此有010()()NPNQABAABA.下面计算0A:对任一四位数00abcA,b可取0,1,,9,对其中每个b,由9ba及9bc知,a和c分别有9b种取法,从而992200191019(9)2856bkAbk.因此,()()285NPNQ.二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)若实数,,abc满足242,424abcabc,求c的最小值.解:将2,2,2abc分别记为,,xyz,则,,0xyz.由条件知,222,xyzxyz,故2222224()2zyxzyzyzy.…………………8分因此,结合平均值不等式可得,422111224yyzyyyy332111332244yyy.…………………12分当212yy,即312y时,z的最小值为3324(此时相应的x值为324,符合要求).由于2logcz,故c的最小值为32235log2log343.…………………16分10.(本题满分20分)设1234,,,aaaa是4个有理数,使得311424,2,,,1,328ijaaij,求1234aaaa的值.解:由条件可知,()14ijaaij≤≤是6个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,由此知,1234,,,aaaa的绝对值互不相等,不妨设1234aaaa,则()14ijaaij≤≤中最小的与次小的两个数分别是12aa及13aa,最大与次大的两个数分别是34aa及24aa,从而必须有121324341,81,3,24,aaaaaaaa…………………10分于是2341112113,,248aaaaaaa.故2231412113{,},242,82aaaaaa,…………15分结合1a,只可能114a.由此易知123411,,4,642aaaa或者123411,,4,642aaaa.经检验知这两组解均满足问题的条件.故1234aaaa94.…………………20分11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy中,1F、2F分别是椭圆2212xy的左、右焦点.设不经过焦点1F的直线l与椭圆交于两个不同的点A、B,焦点2F到直线l的距离为d.如果直线1AF、l、1BF的斜率依次成等差数列,求d的取值范围.解:由条件知,点1F、2F的坐标分别为(1,0)和(1,0).设直线l的方程为ykxm,点A、B的坐标分别为11(,)xy和22(,)xy,则12,xx满足方程22()12xkxm,即222(21)4(22)0kxkmxm.①由于点A、B不重合,且直线l的斜率存在,故12,xx是方程①的两个不同实根,因此有①的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0kmkmkm,即2221km.②由直线1AF、l、1BF的斜率111yx、k、221yx依次成等差数列知,1212211yykxx,又1122,ykxmykxm,所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kxmxkxmxkxx.化简并整理得,12()(2)0mkxx.假如mk,则直线l的方程为ykxk,即l经过点1(1,0)F,不符合条件.因此必有1220xx,故由方程①及韦达定理知,1224()221kmxxk,即12mkk.③由②、③知,2221212kmkk,化简得2214kk,这等价于22k.反之,当,mk满足③及22k时,l必不经过点1F(否则将导致mk,与③矛盾),而此时,mk满足②,故l与椭圆有两个不同的交点A、B,同时也保证了1AF、1BF的斜率存在(否则12,xx中的某一个为1,结合1220xx知121xx,与方程①有两个不同的实根矛盾).…………………10分点2(1,0)F到直线:lykxm的距离为2222111111222211kkmdkkkkk.………15分注意到22k,令211,tk则(1,3)t,上式可改写为21313222tdttt.④考虑到函数13()2fttt在[1,3]上单调递减,故由④得,(3)(1)fdf,即(3,2)d.…………………20分2015年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次.一、(本题满分40分)设12,,,(2)naaan≥是实数,证明:可以选取{}12,,,1,1nεεε∈−,使得222111(1)nnniiiiiiiaanaε===+≤+∑∑∑.证法一:我们证明:222211112(1)nnnniijiniiijaaana====++−≤+∑∑∑∑,①即对1,,2ni=,取1iε=;对1,,2nin=+,取1iε=−符合要求.(这里,[]x表示实数x的整数部分.)…………………10分事实上,①的左边为2222111122nnnnijijnniijjaaaa===+=+++−∑∑∑∑22211222nnijnijaa==+=+∑∑2221122222nnijnijnnana==+≤+−∑∑(