聚焦二元一次方程组中参数问题的求解

1适用栏目：解法总结适用年级：八年级聚焦二元一次方程组中参数问题的求解李培华广东省化州市文楼中学525136二元一次方程组中的参数一般是指在二元一次方程组中，除了x与y之外，其它用字母表示的数。对于二元一次方程组中的参数问题怎样求解呢？下面本文将结合例题介绍三种常见的重要方法，供大家参考：一变参为主法：即把二元一次方程组中的参数当作主要未知数来处理，建立新的关于此参数的一元一次方程或二元一次方程组来求解的方法。例1：关于x与y的二元一次方程组kyxkyx95的解也是二元一次方程632yx的解，则k的值是______解：由kyxkyx95得kykx27∵kykx27是二元一次方程632yx的解∴68)2(372kkk解得43k例2：若二元一次方程组12323ayxyx中的x与y互为相反数，则a______解:∵x与y互为相反数∴0yx即xy从而有32323xxxyx则3y把33yx代入12ayx得35a例3：若二元一次方程组12354yxyx和13nymxnymx有相同的解，则m______，n______解：由12354yxyx得11yx2∵12354yxyx和13nymxnymx有相同的解∴11yx也是13nymxnymx的解，从而有)2(1)1(3nmnm由⑴+⑵得2m把2m代入⑴得1n故2m，1n例4：若二元一次方程组42652byaxyx和83653aybxyx有相同的解，求2010)2(ba的值。解：∵42652byaxyx和83653aybxyx有相同的解∴设00yyxx是42652byaxyx和83653aybxyx的公共解，则有426520000byaxyx和836530000aybxyx，从而知00yyxx也是365326520000yxyx和840000aybxbyax的公共解由365326520000yxyx得6200yx把6200yx代入840000aybxbyax得)2(862)1(462abba由⑴×3+⑵得2020b解得1b把1b代入⑴得1a∴1)112()2(20102010ba例5：甲乙两个学生解二元一次方程组3216bycxbyax，甲正确地解出216yx，乙因为把c看错而得到的解是7.16.7yx，求cba,,的值。解：依题意知，216yx和7.16.7yx都是16byax的解3∴167.16.716216baba解这个关于ba,的二元一次方程组得43ba把4,21,6byx代入32bycx得32)21(46c解得5c故5,4,3cba小结：变参为主法是处理二元一次方程组中的参数问题的重要工具。像例1——例3结合题意，直接利用变参为主法，把有关参数问题转化为解关于此参数的一元一次方程或二元一次方程组问题，从而快速得到答案；而例4和例5则结合等价转化思想，先通过重组新的二元一次方程组，并求出此二元一次方程组的解，然后利用变参为主法把有关参数问题转化为解关于此参数的二元一次方程组问题，从而把参数问题简单化。二整体化参法：即结合所要求解的目标参数式的特点，利用转化思想，对二元一次方程组中的参数作整体化处理的方法。例6：若二元一次方程组54aybxbyax的解12yx，则ba的值为______解：∵54aybxbyax的解是12yx∴)2(52)1(42abba由⑴+⑵得9)(3ba则3ba例7：已知12242kyxkyx，且01yx，则k的取值范围为（）A211kB021kC210kD121k解：)2(122)1(42kyxkyx由⑵﹣⑴得kkkyx214)12(∵01yx∴021121kk解得121k故选D小结：整体化参法是处理二元一次方程组中的参数问题的最快捷途径。像例6和例7结合所要求解目标代数式的特点，利用代入法和加减消元法，对二元一次方程组中的参数作整体化处理，从而使得解题过程既简便又快捷。三待定系数法：4即把所要求解的参数目标式转化成用此参数的二元一次方程来表示，然后根据相等多项式对应项系数相等的性质寻求所需要配凑的系数的求解方法。例8：若11yx是二元一次方程组8231nymxnymx的解，则nm65的值为______解：∵11yx是二元一次方程组8231nymxnymx的解∴8231nmnm设nkkmkknmknmknm)2()3()23()(65212121由相等多项式对应项系数相等的性质得)2(62)1(532121kkkk由⑴—⑵得12k，把12k代入⑵得81k∵823,1nmnm∴0818)23()(865nmnmnm例9：若二元一次方程组4233yxyx的解为byax，则ba的值为（）A1B3C51D517解：∵二元一次方程组4233yxyx的解为byax∴4233baba设bkkakkbakbakba)2()3()23()(212121由相等多项式对应项系数相等的性质得)2(12)1(132121kkkk由⑴—⑵得252k，解得522k，把522k代入⑵得511k∵423,3baba∴14523)51(ba故选A例10：已知二元一次方程10nymx的两组解为21yx和12yx，那么nm73的值为______解：∵二元一次方程10nymx的两组解为21yx和12yx5∴102102nmnm设nkkmkknmknmknm)2()2()2()2(73211221由相等多项式对应项系数相等的性质得)2(72)1(322112kkkk由⑴×2+⑵得1332k，解得3132k，把3132k代入⑴得3171k∵102,102nmnm∴10010)313317(1031310317)2(313)2(31773nmnmnm小结：待定系数法也是处理二元一次方程组中的参数问题的重要法宝。它的特点在不需要直接求出参数值而能根据相等多项式对应项系数相等的性质求出参数目标代数式的值。像例8——例10通过转化思想，利用待定系数法建立关于此参数系数的二元一次方程组，从而把参数问题巧妙处理。综上可见，有关二元一次方程组中的参数问题的求解方法是灵活多样的。只要我们仔细观察二元一次方程组中参数的特点，选准合适的求解方法，二元一次方程组中的参数问题便迎刃而解。