第三章-岩石的弹塑性本构关系

第三章岩石的弹塑性本构模型岩石的弹塑性本构模型•前言•张量知识简介•线性弹性理论•非线性弹性理论•应力空间表述的弹塑性本构理论前言•1、条件：将岩石介质看作成一种连续介质——宏观分析。•2、主要研究内容：①研究材料固有的特性，建立应力~应变及与温度之间关系的表达式（本构关系）②分析弹塑性变形体内应力、应变分布，研究物体在各种荷载下的稳定性问题——求解边值问题或求解初值-边值问题。③应用数学问题，探求各种解析方法或数值方法。•本章着重解决本构关系。张量知识简介一、预备知识1.坐标系2.约定求和3.克罗尼克尔符号4.置换符号二、张量的定义1.坐标变换2.零阶张量（标量）3.一阶张量（向量）4.二阶张量ijijk1.坐标系•1）直线坐标系由坐标原点与三条不共面标架直线构成•2）仿射坐标系各标架上单位尺度不同•3）笛卡尔坐标系各标架上单位尺度相同①笛卡尔直角坐标系标架直线互相垂直②笛卡尔斜角坐标系标架直线不互相垂直•以表示笛卡尔直角坐标系的坐标，，，分别表示三个坐标的单位矢量。3,2,1,ixi1i2i3i2.约定求和•定义：如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示对这个指标从1到3求和。例1例2332211BABABABAii3,2,1i332211xAxAxAxAii3,2,1i例3:131312121111BABABABAijij3,2,1,1ji232322222121BABABA3,2,1,2ji333332323131BABABA3,2,1,3ji例4↓332211BABABABAiiijij3,2,1j333232131323222121313212111BABABABABABABABABA3,2,1,33,2,1,23,2,1,1jijiji3.克罗尼克尔符号•定义：•故有：ijjijiij10jiij•例1：在笛卡尔直角坐标系中：•例2：单位矩阵可表示为ijjiiiijI333231232221131211100010001•例3：•例4：3332211ii1111221331211222233231132233331,2,3immiAAAAAAAAAAAAAAi•例5：•例6：3,2,13,2,1321321jiBBBBBBBBijiiijjjmjimijmjim4.置换符号•1）定义：ijk的奇排列为当的偶排列为当中有两个相同者当3,2,1,,13,2,1,,1,,0kjikjikjiijk即：111112113121122131133211212221222223232233311313322323331332333123231312321213132,,,,,,,,,,,,0,,,,,,11•例1：111213212223313233112233122331132132132231122133112332123123||,,1,2,3ijijkijkijkijkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaijk•例2：123123123ijkijkijkjkiABABBBABABiiiABii•2）和的关系ijkij111222333ijkijkijkijk练习•将下式写成常见的应力-应变方程组（广义虎克定律）ssijijkkijss1(21)EE2()2(22)3ijsskkijsijKGG3(12)sssEKv2(1)sssEG例：将（2-1）式转换为（2-2）式•由•得：3(12)sssEKv2(1)sssEG1169ssssvEGK2(1)sssEG•（2-1）式可以写成•两端乘111(23)269ijijijkksssGGKij111269111223ijijijijijijkksssiiiikksssGGKGGK•调整参数•或•代入（2-3）式，得11112233kkkkkkkkGGKK3kkkkK1113269ijijijskksssKGGK11223sijijkkssKGG整理得：2()23sijsijkksijGKG二、张量的定义•张量是由满足一定关系的一组元素所组成的整体，元素的个数由空间的维数N及张量的阶数n决定，我们以N=3为代表，给出各阶张量的定义。1．笛卡尔直角坐标系间的坐标变换：式中：是轴与轴夹角的余弦，为坐标轴的单位向量即：3,2,1ixxjijiijixojox,ijijjbⅱ=?iiii333232131332322212123132121111xxxxxxxxxxxx1x2x3x1x1112132x2122233x3132331x2x3x1x1112132122233132333x2x¢2．零阶张量（标量）有30=1个元素，是坐标变换下的不变量，即),,(),,(321321xxxxxx3．一阶张量（向量）•有31=3个元素，它们随坐标系变化的规律为•或,(1,2,3)iTi=3,2,1iTTjiji3,2,1iTTjjii•该3个元素组成的整体称为一阶张量，记作称为的分量，记作•一阶张量=向量T1,2,3iTi=T),,()(321TTTTiT4．二阶张量•有个元素，•它们随坐标系的变化规律为•或9323,2,1,jiTijmnjnimijTTmnnjmiijTT3,2,1,,,nmji•则由这9个元素所组成的整体称为二阶张量，记作333231232221131211)(TTTTTTTTTTijT5.应力、应变张量•①应力张量：是二阶对称张量，•②应变张量：是二阶对称张量，•③广义虎克定律：式中：——弹性系数张量，根据张量识别定理，是4阶张量，共有34=81个分量。mnjnimijmnjmimijkpijkpijE线性弹性理论一、空力空间和应变空间二、用cauchy方法给出的本构方程一、空力空间和应变空间•1．应力空间：①定义：以应力分量作为笛卡尔坐标系中的坐标轴所形成的空间（一般概念上来说应是一个9维空间），岩体中某一点的应力状态可用应力空间中的一点（坐标）来表示。ij•②常用应力空间•9维空间不直观。通常采用三维——二维空间•i)用三个主应力来表示：•ii)用二个主应力来表示：•iii)用剪应力和平均应力来表示用剪应力和平均应力来表示•应力分解：式中：为平均应力mmmmmm321321000000000000000000)(31321m13131313310002200022ssssssssss骣骣+-鼢珑鼢珑骣鼢珑鼢÷ç珑鼢÷=+ç珑鼢÷ç珑÷鼢ç+-桫珑鼢鼢珑鼢珑桫桫用剪应力和平均应力来表示•常用二维：•空间表示其中：st1313,22tsssss+=-=用剪应力和平均应力来表示•常用三维：空间表示qp1232221223312222212233122221223311()31()()()233221()()()331()()()6octoctPqJJJsssssssssttssssssssssss=++=-+-+-====-+-+-轾=-+-+-犏臌•——八面体剪应力•——偏应力第二不变量；与形变能V有关•轴对称情况（常规三轴试验）：oct2J21323222161EV)2(3131p31q用剪应力和平均应力来表示•有限元计算中常用的应力空间有：空间，12~IJ3211I2．应力路径（stressroute）1）定义：应力空间中用来表示应力状态变化历史的一条曲线。2）举例：①不同应力空间中常规三轴加载条件下的应力路线3．应变应空间与应变路径——相同定义•本构关系就是应力、应变这两种状态所满足的数学表达式二、用cauchy方法给出的本构方程1．Cauchy假设：在外力作用下，物体内各点的应力状态和应变状态之间存在着一一对应的关系。因此，弹性介质的响应仅与当时的状态有关而与应变路径或应力路径无关。•推论：①卸荷后，介质回到初始状态②应力、应变都是瞬时发生的，在时间上无先后顺序③在应力空间和应变空间的各点之间构成一一对应的映射关系。2．弹性本构方程1）弹性变形是各向同性的①用应变表示应力（1）其中：为4阶张量。ijijkpkpEijkpE•对于各向同性：•式中，为某一标量，是两个独立的常数，称为拉梅常数()ikjpipikijkpijkpE,(ijijkpikjpipjkkp2ijijkkij,,1,2,3ijk•②用应力表示应变12(32)212(32)2ijijkkijijijkpikjpipjkkp,,1,2,3ijk2）弹性参数：•纯拉（或压）虎克定律中的扬氏弹性模量E•纯剪切虎克定律中的剪切弹性模量G•泊松比v①E：纯拉（或压）其余1100ij11111112(32)211(32)2233112(32)•实验上：单向伸缩的虎克定律可以写成•故：②泊松比11111E)23(E22112()•③纯剪切虎克定律中的剪切弹性模量G∵又∵故：0kk121212121212G11222(1)EGGv3）不同表示的弹性本构方程①用E，表示的弹性本构方程②用K-G表示的弹性本构方程v1ijijijkkvvEE111269ijijijkkGGK3(12)EKv•③用G、E、表示的弹性本构关系④用表示的弹性本构关系v2121ijijijkkEvGvv,G121Evvv2ijijijkkG•上述各式中的E，，G，K等弹性参数可采用割线参数。4）增量形式的弹性本构方程•上述各式中的E，，G，K等弹性参数可采用切线参数。v1ijijijkkvvdddEE2()23ijijkkijdkGdGdv非线性弹性理论•非线性弹性Duncan（邓肯）模型该模型在岩土工程计算中运用相当广泛。（一）弹性模量（二）泊松比E（一）弹性模量1）基本假定：由常规三轴试验，应力—应变关系为双曲线形式：或1131ab13113()1()ab2）参数意义：式中：为初始模量。1113111,()uabb131()ub1301111Eaba1001aE0E3）割线模量：131110131311313013111()()1()11()1()susEcabEabEbEba