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向量的概念及表示执教:张亮点评:孔凡海【教学目标】一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景；二、理解平面向量和向量相等的概念；三、掌握向量的几何表示；四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。【重点难点】重点：向量的概念和向量的几何表示；难点：向量概念的理解【点评】知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。【教学过程】一、设置情境情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？合作探究看下面哪些量是与众不同的：（1）线段的长度（2）物体的质量（3）物体的体积（4）物体所受重力（前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）【点评】根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动，感知数学，进行意义建构。物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。二、探索研究问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？1．向量的定义既有大小又有方向的量叫向量。师：你还能举出一些向量的例子吗？师：在这一概念中你认为关键词有哪些？板书向量的二要素大小和方向师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？2．向量的表示方法①几何表示法——向量常用有向线段表示师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的向量记为：。大小记为：││板书有向线段的三要素起点、终点、长度。②字母表示法：可表示为练习1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？2．向量和同一个向量吗？为什么？师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗？向量是有向线段吗？【点评】注意到学生由于受物理背景的影响而导致认知的偏差，明确数学上的向量是“自由“向量，只有大小和方向两个要素，与起点无关。消除由于物理中力的引入而导致的误解。问题二数量中有“0”，“1”……，比如0度。向量中有没有与之类似的量，如果有又怎样定义这些特殊的量呢？【点评】通过类比联想，认识向量这个“二元”数。从已知的有理数的相似性，推断未知的向量的相似性，进行猜想。并不满足于对相似性的模糊认识，坚持把它们的相似性用准确的数学形式表达出来。经历数学发现过程，体会合情推理在数学发现中的作用，发展学生的创新意识和创新能力。逐步让学生学会建构数学知识。3．特殊的向量。(1)零向量长度为零的向量，记为(2)单位向量长度等于一个单位的向量师：这些向量都是从向量二要素中的大小这一特性去定义的，那么有没有方向的特殊的向量呢？问题三数量中有两数相等和两数互为相反数等特殊情况，你怎么考虑向量中的类似问题？【点评】设法造成学生“愤”、“悱”的状态，使他们想求明而不得，想说却不能。然后引导他们去探索、去发现，提出解决问题的门径，引导学生“自得”。4．向量间的关系（1）平行向量方向相同或者相反的向量。若与平行，记作//规定与任一向量平行，即//师：你能画出一组平行向量吗？师：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？生：是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上。师：对！由此，我们把平行向量又叫做共线向量。(2)相等向量大小相等方向相同的向量，记=（3）相反向量与大小相等方向相反的向量，记-【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案（1）任一向量与它的相反向量不相等（2）平行向量的方向一定相同（3）不相等的向量一定不平行（4）模相等的两个平行向量是相等的向量【例2】如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量FE、OA、OD、OC、CB中：（1）试找出与OA共线的向量（2）找出与OA相等的向量（3）OA与FE相等吗？【点评】新课的巩固工作主要通过课堂练习来完成，学生通过当堂的练习（包括变式练习），领悟新知识，记忆新知识。对有关概念的内涵进一步挖掘、外延进一步界定；不同概念进一步比较区分。同时为后继的学习打好基础（知识技能、思想方法）。【见仁见智】本教案的设计思路大致可以概括为：问题情境（提出问题）→学生活动（体验向量）→意义建构（探索研究向量）→数学理论（建立向量概念）→数学运用（辨别、解释、解决简单问题）→回顾反思（理解、联系、整合、拓广）。在问题情境设置中，设计的问题贴近学生，通过问题来激发学生的认知兴趣，在问题中培养学生的比较、鉴别、归纳的思维能力；在探索研究概念中，精心设计问题串，脉络清楚，类比联想，建构数学知识，使得看起来一大堆零散的有关概念得以系统有序地认识；在巩固认识概念中，通过例题的讲解和变式练习达到对重点概念的重点掌握，注重概念的辨析，突出概念的本质特征。在新课程的实验阶段，学生在课堂上“自主探索、合作交流”，师生对“教与学的方式的改变”必然会有一个适应的过程，要注意以下问题：一是组织学生开展的探索活动是必要的，但不必事事都探索；二是“教学方式的改变”并不意味着教师不能进行必要的讲授；三是起始课，给学生以数学的全貌，给学生以正确的数学观，如何让学生学会建构数学，数学如何建构，虽然这是高考不考的，但这是对学生受益终身的。学生探索空间的大小，取决于教师所设计“问题”的难易程度。这里要特别指出的是，必须给学生的探索活动以足够的“自由度”。如果教师在组织学生进行探索时自己暗暗地设定一个具体的“目标”，并要学生达到它，那么这样的“探索”活动就会妨碍学生“富有个性地学习”，甚至在实际上成为了另一种形式的“注入”。