2016山东省高考数学理科试题及完美解析

俯视图俯（左）视图正（主）视图1112016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）若复数z满足232zzi，其中i为虚数单位，则z=(A)12i(B)12i(C)12i(D)12i（2）设集合22,,10,xAyyxRBxx，则ABU=(A)(-1,1)(B)(0,1)(C)(-1,+)(D)(0,+)（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的频率分布直方图，期中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20,20,22.5,22.5,25,25,27.5,27.5,30,根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(A)56(B)60(C)120(D)140（4）若变量x，y满足22390xyxyx，则22xy的最大值是(A)4(B)9(C)10(D)12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为(A)1233(B)1233(C)1236(D)216（6）已知直线,ab分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）函数3sincos3cossinfxxxxx的最小正周期是（A）2（B）（C）32（D）2（8）已知非零向量m，n满足43mn，1cos,3mn，ntmn，则实数t的值为（A）4（B）4（C）94（D）94（9）已知函数fx的定义域为R.当0x是，2=1fxx；当11x时，fxfx；当12x时，1122fxfx，则6f（A）2（B）1（C）0（D）2（10）若函数yfx的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称yfx具有T性质.下列函数中具有T性质的是（A）sinyx（B）lnyx（C）xye（D）3yx二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右边的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.(12)若251()axx的展开式中5x的系数是80，则实数a_______.（13）已知双曲线E1：22221xyab0,0ab，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且23ABBC，则E的离心率是_______.（14）在1,1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆2259xy相交”发生的概率为.（15）已知函数2||,()24,xxmfxxmxmxm其中0m，.若存在实数b，使得关于x的方程fxb有三个不同的根，则m的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。（16）（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知ABBABAcostancostan)tantan2（（Ⅰ）证明：2abc；（Ⅱ）求cosC的最小值.（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线。（I）已知，分别为，的中点，求证：；（II）已知，，求二面角的余弦值。（18）（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为238nSnn，{}nb是等差数列，且1nnnabb。（Ⅰ）求数列{}nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnaCb求数列{}nC的前n项和nT.（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动中甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，假设“星队”参加两轮活动，求：（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.（20）（本小题满分13分）OEFBACO'HG已知221()ln,xfxaxxaRx.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）当1a时，证明3()'2fxfx＞对于任意的1,2x成立.（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab＞＞的离心率是32，抛物线E：22xy的焦点F是C的一个顶点。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点BA、，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于X轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标.2016年普通高等学校招生全国统一考试答案解析（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）答案：B解析：设,zabizabi，则2()()32abiabii332abii1,2ab12zi复数的运算题目，考察复数的加法及共轭复数，难度较小。（2）答案：C2,xAyyxR={|0}Ayy210,Bxx{|11}Bxx0AB（，）解析：集合运算题目，基础题目，难度较小。（3）答案：D解析：由频率分布直方图可知：组距为2.5，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：0.16+0.08+0.042.5=0.7（）人数是2000.7=140人频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小。（4）答案：C作图：可见当取点A时取最大值，最大值为223-110（）解析：线性规划题目，考察到原点的距离的平方，难度较小。（5）答案：C解析：由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，体积为3142112111+=+332236（）考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，难度较小。（6）答案：A解析：若直线相交，一定有一个交点，平面一定有一条交线，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意。（7）答案：B解析：22()2sinxcosx3cos3sinsin23cos22sin(2)3fxxxxxx，最小正周期222T（8）答案：B解析：()ntmn，()0ntmn，2||||cos,||0tmnmnn4||3||mn，1cos,3mn，231||||||043tnnn，104t，既4t。xy–1–2–3123456–1–2–3–4–5123AO（9）答案：D解析：当12x时，11()()22fxfx，既()(1)fxfx，周期为1，(6)(1)ff。当0x时，3()1fxx，且11,()()xfxfx，(6)(1)(1)2fff。（10）答案：A解析：T函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为1；B选项中lnyx的导数是1yx恒大于0，斜率成绩不可能为1；C选项中xye的导函数xye恒大于0，斜率成绩不可能为1；D选项中3yx的导函数23yx恒大于等于0，斜率成绩不可能为1。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）答案：3（12）答案：-2解析：25151()()rrrrTCaxx，5105,22rr，5x的系数为23580Ca，2a（13）答案：2解析：由题可知：3(,)2Dcc带入双曲线方程：2222222222222422222222339()()224119334222232320(21)(2)02ccccccaabababbacbaccaaccaaceeeee（14）答案：34解析：直线ykx与圆22(5)9xy相交，所以圆心(5,0)到直线0kxy距离小于半径3rxy°y=|x|my=x2-2mx+4mO222222|50||5|311|5|31259(1)933144433()3441(1)4kkdkkkkkkkkP（15）答案：3m解析：有题可知，如图所示时存在b有三个不同的根2222||24430(3)03mmmmmmmmmmmm三、解答题：本大题共6小题，共75分。（16）解析：（Ⅰ）tantan2(tantan)coscossinsinsinsin2()coscoscoscoscoscossincossincossinsin2()coscoscoscoscoscos2sin()sinsin2sinsinsin2ABABBAABABABABBAABBAABABABBAABABCABcab（Ⅱ）bac2abcbaC2cos222=abbaabba22)2)22（=ababba22)232（=12232abba123abab=21，当且仅当ba时取等号Ccos的最小值为21。主要考察弦化切，解三角形边化角以及均值不等式相结合17．解析：（I）证明：取中点，连接在中点和分别为和的中点为母线;;；同理：在中可知，；，又，。（II）方法一：连接,作于点，于点；垂直底面，，。即为二面角的平面角；，，，为等腰直角三角形,;在中：，在中：,在中，二面角的余弦值为。（II）方法二：OEFBACO'HGIOEFBACO'HGPQ分别以OA、OB、OO’建立x、y、z轴，则O0,0,0O’3,0,0A0,0,32B0,32,0C0,0,32F3,3,0.3,3,32FC，3,3,0FB则平面ABC的法向量3,0,0'1OOn，设平面FCB的法向量为zyxn,,2，则02nFC，02nFB，得1,3,32n∴7713331,3,33,0,0cos22121nnnn所以二面角F-BC-A的余弦值为77（18）解析：（Ⅰ）238nSnn①2-13(1)8(1)nSnn②-①②得：22383(1)8(1)=65nannnnn111S也符合=65nan=65nan由1nnnabb1121211abbbd22312317abbbd解得：13,4db1(1)31nbbndnyxzOEFBACO'HG（Ⅱ）111(1)(66)(33)26(1)2(2)(33)nnnnnnnnnanCnnbn123123123116[2232422(1)2]26[2232(1)22(1)2]nnnnnnnnTCCCCnnTnnn①②①-②得：23111226[4222(1)2]4(12)6[4(1)2]123232nnnnnnnnTnnnTn（19）解析：解：（Ⅰ）12131410P）（X31431P）（X+125324121