立体几何专题评估测试题及详细答案

-1-立体几何专题评估测试题[时间120分钟，满分150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·济宁一模)已知m，n是空间两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β解析根据线面垂直的判定和性质可知，D正确．答案D2．(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为解析结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图．根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图是正方形，如图(2)所示．故选A.答案A-2-3．在空间中，不同的直线m，n，l，不同的平面α，β，则下列命题正确的是A．m∥α，n∥α，则m∥nB．m∥α，m∥β，则α∥βC．m⊥l，n⊥l，则m∥nD．m⊥α，m⊥β，则α∥β答案D4．(2013·大兴一模)已知平面α，β，直线m，n，下列命题中不正确的是A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β解析C中，当m∥α时，m只和过m平面与β的交线平行，所以C不正确．答案C5．(2013·滨州模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．1B.13C.12D.32解析由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1，俯视图的面积为1×1＝1，所以四棱锥的体积为13×1×1＝13，选B.答案B6．下列命题正确的是A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内的三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面垂直解析A不正确，满足条件的直线可能相交也可能异面；B不正确，当两个平面相交时也满足条件；由线面平行的性质定理可知C正确；D不正确，垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交．答案C-3-7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.2πB．22πC．(22＋1)πD．(22＋2)π解析由三视图可知该几何体是两个高相等、底面完全重合的圆锥，圆锥的底面半径为1，高为1，则该几何体的表面积为2×πrl＝2×π×1×2＝22π.答案B8．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①α∥βα∥γ⇒β∥γ；②α⊥βm∥α⇒m⊥β；③m⊥αm∥β⇒α⊥β；④m∥nn⊂α⇒m∥α.其中真命题的是A．①③B．①④C．②③D．②④解析①正确，平行于同一平面的两平面平行；②中m可能在平面β内，也可能m∥β，m⊥β，③正确．④中可能m⊂α.答案A9．(2013·临汾模拟)若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为-4-A．10πB．50πC．25πD．100π解析由三视图可知该几何体为三棱锥，并且在同一顶点上的三条棱两两垂直，且棱长分别为3、4、5，故该几何体的外接球也就是棱长分别为3、4、5长方体的外接球，则该外接球的半径R＝1232＋42＋52＝522，所以S＝4πR2＝50π.答案B10．(2013·太原模拟)几何体ABCDEP的三视图如图，其中正视图为直角梯形，侧视图为直角三角形，俯视图为正方形，则下列结论中不成立的是A．BD∥平面PCEB．AE⊥平面PBCC．平面BCE∥平面ADPD．CE∥DP解析由三视图可知，该几何体的底面是正方形，且棱EB和PA都与底面ABCD垂直．若CE∥DP，则CE在平面PDA上的射影和DP平行，这和几何体的侧视图矛盾，故选项D不成立．答案D11．若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a为正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为A.33B.36C.1313D.2626解析由题意知正四棱锥的每个侧面面积为54a2.设正四棱锥的侧棱长为x，则正四棱锥的斜高h′＝x2－a24，-5-所以有12x2－a24·a＝54a2，解得x＝262a.所以正四棱锥的侧棱与底面所有角的余弦值为22a262a＝1313.答案C12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别是α、β，则α＋β等于A．120°B．60°C．75°D．90°解析选BC的中点M，连接FM、MG，则∠GFM为GF与AB所成的角；连接ED1，则∠EC1D1为C1E与AB所成的角．计算出MF，MG，ED1的长度可知C1D1D1E＝MGMF，故Rt△GMF∽Rt△C1ED，∴∠GFM＋∠EC1D1＝90°.选D.答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于________．解析如图所示，设O是正方形ABCD的对角线AC和BD的交点，AH是点A到平面BCD的距离，因为S△BCD＝2，所以当AH最大时，所求三棱锥的体积就最大，由图可知当点H与点O重合时，AH最大，此时AH＝AO＝2，则三棱锥的体积最大值为V＝13×2×2＝223.答案223-6-14．(2013·扬州模拟)正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且∠BMC是直角，则AMMO的值为________．解析如图所示，设正四面体ABCD的棱长为2，由条件知O是正三角形BCD的重心，所以BO＝CO＝233，AD＝22－2332＝263.设MO＝x，则CM2＝BM2＝x2＋43.又因为∠BMC是直角，所以BC2＝CM2＋BM2，即4＝2x2＋43，解得x＝63，∴MO＝63，即MO＝12AO，故AMMO＝1.答案115．如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD⊥平面CEFB，CE＝1，∠AED＝30°，则异面直线BC与AE所成的角的大小为________．解析由题意，正方形和菱形的边长均为1.又面ABCD⊥平面CEFB，所以CE⊥平面ABCD，于是CE⊥CD，从而DE＝2.在△ADE中，AD＝1，DE＝2，∠AED＝30°，由正弦定理得ADsin∠AED＝DEsin∠EAD，所以sin∠EAD＝DE·sin∠AEDAD＝22，故∠EAD＝45°.-7-又BC∥AD，所以异面直线BC与AE所成角为∠EAD，即45°.答案45°16．设l，m，n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数为________．解析①正确．②中当直线l⊂α时，不成立．③中，还有可能相交于一点，不成立．④正确，故有2个正确的命题．答案2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2013·济南模拟)如图，斜三棱柱A1B1C1－ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，E、F分别是A1C1、AB的中点．(1)求证：EC⊥平面ABC；(2)求三棱锥A1－EFC的体积．解析(1)证明在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足．因为∠A1AC＝60°，所以AO＝12AA1＝12AC，即O为AC的中点，所以OC綊A1E.因而EC綊A1O.因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC，所以EC⊥底面ABC.(5分)(2)F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO的一半，而BO＝3，-8-所以VA1－EFC＝VF－A1EC＝13S△A1EC·12BO＝13·12A1E·EC·32＝13·12·3·32＝14.(10分)18．(12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．(1)求证：直线A1D⊥B1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．解析(1)证明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥面ABC，所以AA1⊥BC.在等边△ABC中，D是BC中点，所以AD⊥BC.因为在平面A1AD中，A1A∩AD＝A，所以BC⊥面A1AD.又因为A1D⊂面A1AD，所以，A1D⊥BC.(3分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，所以B1C1∥BC，所以A1D⊥B1C1.(6分)(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，在平行四边形ACC1A1中连接A1C，交于AC1点O，连接DO.则O为A1C中点．在三角形A1CB中，D为BC中点，O为A1C中点，故DO∥A1B.(10分)因为DO⊂平面DAC1，A1B⊄平面DAC1，所以A1B∥面ADC1，故A1B与面ADC1平行．(12分)19．(12分)(2013·门头沟区一模)如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．(1)求证：AB⊥平面PCD；(2)若PC＝PD＝1，CD＝2，试判断平面α与平面β是否垂直，并证明你的结论．解析(1)证明因为PC⊥α，AB⊂α，所以PC⊥AB.-9-同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD.(5分)(2)平面α与平面β垂直．(6分)证明设AB与平面PCD的交点为H，连接CH、DH.因为PC⊥α，所以PC⊥CH.在△PCD中，PC＝PD＝1，CD＝2，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°.在平面四边形PCHD中，PC⊥PD，PC⊥CH，所以PD∥CH.(10分)又PD⊥β，所以CH⊥β，所以平面α⊥平面β.(12分)20．(12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．(1)求证：A1B∥平面ADC1；(2)若AB＝BB1＝2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．解析(1)证明因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以四边形A1ACC1是矩形．连接A1C交AC1于O，则O是A1C的中点．又D是BC的中点，所以在△ADC1中，OD∥A1B.(3分)因为A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.(5分)(2)因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC.以D为原点，建立如图所示空间坐标系D－xyz.-10-由已知AB＝BB1＝2，得D(0,0,0)，A(3，0,0)，A1(3，0,2)，C1(0，－1,2)．(6分)则DA→＝(3，0,0)，DC1→＝(0，－1,2)，设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)．由n·DA→＝0n·DC1→＝0，得到3x＝0－y＋2z＝0，令z＝1，则x＝0，y＝2，所以n＝(0,2,1)．(8分)又DA1→＝(3，0,2)，得n·DA1→＝0×3＋2×0＋1×2＝2，所以cos〈DA1→，n〉＝25×7＝23535.设A1D与平面ADC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈DA1→，n〉|＝23535，(11分)所以A1D与平面ADC1所成角的正弦值为23535.(12分)21．(12分)(2013·南京模拟)如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝12AP＝2，D是AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.(1)求