立体几何体积问题

立体几何体积问题1、在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且60DAB，//EF平面ABCD，22EAEDABEF，M为BC中点.（1）求证//FM平面BDE；（2）若平面ADE平面ABCD，求F到平面BDE的距离.【答案】（1）见解析；（2）155试题解析（2）由（1）得//FM平面BDE，所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离．取AD的中点H，连接,EHBH，因为四边形ABCD为菱形，且60DAB，2EAEDABEF，所以EHAD，BHAD，因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，所以EH平面ABCD，EHBH，因为3EHBH，所以6BE，学所以22161562222BDES，设F到平面BDE的距离为h，又因为113342242BDMBCDSS，所以由EBDMMBDEVV，得1311533232h，解得155h.学即F到平面BDE的距离为155．2、如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EFDC，平面ABCD平面CDEF，AECF.(1)求证CFDE；(2)若CFDE，24DCEF，求五面体ABCDEF的体积.【答案】(1)见解析(2)203（Ⅱ）连接FA，FD，过F作FM⊥CD于M，因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD，FM⊥CD，所以FM⊥平面ABCD．因为CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE，所以FM＝CM＝1，学所以五面体的体积V＝VF－ABCD＋VA－DEF＝＋＝．3、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60BAD，点M在线段PC上，且2PMMC，O为AD的中点.（Ⅰ）若PAPD，求证平面POB平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，且2AB，求三棱锥POBM的体积.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）23.方法二∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵PAD为等边三角形，2ADAB,∴3AO，∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，2AB由(Ⅰ)BO⊥AD∴1123322OBCSBCOB∵PM=2MC∴2221212333333333POBMMPOBCPOBPOBCOBCVVVVSPO4、已知多面体ABCDEF中，四边形ABFE为正方形，90CFEDEF，22DECFEF，G为AB的中点，3GD.（Ⅰ）求证AE平面CDEF；（Ⅱ）求六面体ABCDEF的体积.【答案】（1）见解析（2）83（Ⅱ）连接CE，则ABCDEFC-ABFEA-CDE=VVV六面体四棱锥三棱锥由（Ⅰ）可知AE平面CDEF，CF平面ABFE.所以ABFE-ABFE1433VSCF正方形四棱锥，A-CDE1433CDEVSAE三棱锥，所以ABCDEF448333V六面体.5.如图，正方形ABCD中，22AB，AC与BD交于O点，现将ACD沿AC折起得到三棱锥DABC，M，N分别是OD，OB的中点.(1)求证ACMN；(2)若三棱锥DABC的最大体积为0V，当三棱锥DABC的体积为032V，且DOB为锐角时，求三棱锥DMNC的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)36.(2)当体积最大时三棱锥DABC的高为DO，当体积为032V时，高为32DO，OBD中，OBOD，作DSOB于S，∴32DSOD，∴60DOB，∴OBD为等边三角形，∴S与N重合，即DN平面ABC，易知DMNCCDMNVV.∵CO平面DOB，∴2hCO，∴1113132224DMNODNSS，∴113323346DMNCCDMNDMNVVSCO.6.如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11BBCC是菱形，其对角线的交点为O，且1ABAC，1ABBC.⑴求证AO平面11BBCC；(2)设1160BBCBAC，若三棱锥1ABCC的体积为1，求点1C到平面1ABB的距离.【答案】（1）见解析（2）2155试题解析（1)证明∵四边形11BBCC是菱形，∴11BCBC,∵11,ABBCABBCB,∴1BC平面1ABC，又AO平面1ABC，∴1BCAO．∵1ABAC,O是1BC的中点，∴1AOBC，∵11BCBCO，∴AO平面11BBCC.在RtABO中，22332BOBCCOx，在RtBCO中，22662ABBOAOx，1221113156422222ABBABSABBB，设点1C到平面1ABB的距离为h，由111111CABBABBCABCCVVV，得111151332ABBShh，解得2155h，即点1C到平面1ABB的距离为2155.7、如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BEABCD平面，（I）证明平面AEC平面BED；（II）若120ABC，,AEEC三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.【答案】（I）见解析（II）3+25（II）设AB=x，在菱形ABCD中，由ÐABC=120°，可得AG=GC=32x,GB=GD=2x.学8、如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．PABDCGE【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43.试题解析（I）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以.ABPD因为D在平面PAB内的正投影为E，所以.ABDE所以AB平面PED，故.ABPG又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点.（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB∥,所以EFPAEFPC，,因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故2.3CDCG学9、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将DEF△沿EF折到D'EF△的位置.(Ⅰ)证明ACHD'；(Ⅱ)若55,6,,224ABACAEOD',求五棱锥D'ABCFE的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2322.【解析】试题分析（Ⅰ）证ACEF∥，再证.ACHD（Ⅱ）证明ODOH，再证OD平面ABC，最后根据锥体的体积公式求五棱锥D'ABCFE的体积.试题解析（I）由已知得,.ACBDADCD又由AECF得AECFADCD，故.ACEF∥10、如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC∥，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点．（I）证明MN∥平面PAB；（II）求四面体NBCM的体积.【答案】（I）见解析；（II）453．【解析】试题分析（I）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（II）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果．学试题解析（I）由已知得232ADAM，取BP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN//，221BCTN.......3分学___X_X_又BCAD//，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN//.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以//MN平面PAB.