14.求复数的辐角、辐角主值

求复数的辐角、辐角主值知识要点：一、基础知识1）复数的三角形式①定义：复数z=a+bi（a,b∈R）表示成r（cosθ+isinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cosθ+isinθ）其中zrθ为复数z的辐角。②非零复数z辐角θ的多值性。以ox轴正半轴为始边，向量oz所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角因此复数z的辐角是θ+2k（k∈z）③辐角主值表示法；用argz表示复数z的辐角主值。定义：适合[0，2）的角θ叫辐角主值02argz唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。④不等于零的复数的模zr是唯一的。⑤z=0时，其辐角是任意的。⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。2）复数的向量表示在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2（如图）何量ozz11对应于何量ozz22对应于何量zzzzz1221对应于与复数z2－z1对应的向量为oz显然oz∥z1z2则argz1=∠xoz1=θ1argz2=∠xoz2=θ2argz（z2－z1）=argz=∠xoz=θ3）复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如z1=r1（cosθ1+isinθ1）z2=r2（cosθ2+isinθ2）①乘法：z=z1·z2=r1·r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为ozozoz12显然积对应的辐角是θ1+θ21若θ20则由oz1逆时针旋转θ2角模变为oz1的r2倍所得向量便是积z1·z2=z的向量oz。2若θ20则由向量oz1顺时针旋转2角模变为r1·r2所得向量便是积z1·z2=z的向量oz。为此，若已知复数z1的辐角为α，z2的辐角为β求α+β时便可求出z1·z2=zaz对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。②除法zzzzzrri1212121212[cos()sin()]（其中z2≠0）除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：1210时顺时针旋转角２oz。2２２时逆时针旋转角01oz。二、基本方法求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法：1）化复数为三角形式如求复数１２（）的辐角，辐角主值cossin44i１２（）＝１２［（－４）＋（－４）］cossincossin44ii这样化成三角式∴复数的辐角是２k4（kz）辐角主值为74∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为127474（）cossini2）直接求辐角及主值主要是使用复数代数式、三角式的互化：若z=a+bi（a,b∈R）则rab22辐角为θ则tbag，θ依点z（a,b）所在象限确定。如上例zii12442424（）cossin设辐角为θ则tgθ=－1∵点z（2424,）在第四象限∴tgθ=tg74742kkz（）而argz=743）数形结合主要是复数运算的几何意义得到的解法