等价鞅测度和鞅定价方法导数

等价鞅测度和鞅定价方法导数改变期望值一个概率分布通常具有两大特征：位置和形状。改变期望值就是改变位置；改变方差则是改变形状的一个方式。在本章中，我们试图改变位置（即期望值），但不改变分布的形状。改变期望值一般可以通过：为随机变量加上一个常数，改变其期望值。这一方法在统计学和计量中很常见，但在金融资产定价中，我们希望实现的是将资产预期收益率从riskpremium调整至以规避对风险溢酬的估计，简化期望值的计算。显然我们并不知道期望的风险溢酬究竟是多少，因此无法采用这一方法。改变概率测度，改变期望值，但不改变方差。在概率测度下，随机变量的分布为1310133131则我们有2983为了将其期望值调整为，我们采用概率测度。显然，概率测度应满足以下三个条件：新概率之和等于；在概率测度下的期望值为；方差仍保持为983。可以求得概率测度应为12242910223935331可以看出，从概率测度到，随机变量的取值并未变化，变化的是其对应的概率。要令期望值下降，需要将较大取值的概率调低，较小取值的概率调高。在概率测度下，随机变量服从正态分布2,如果希望将其期望值调整为，定义随机变量2222将乘以，可以得到22212式意味着，在概率测度下，服从期望值为，方差为2的正态分布。如果希望将其期望值调整为，则定义随机变量22222将乘以，可以得到22212式意味着，在概率测度下，服从期望值为，方差为2的正态分布。在概率测度下，随机向量12,服从联合正态分布，即121121111222221221212121,2其中2221212如果希望将其期望值调整为，定义随机变量1122112111211212222212212212将乘以，可以得到12112112221221212121,2显然以上方法可以推广至多维连续随机向量的情形。导数我们将中的随机变量称为关于的导数。在离散分布下，我们有或者在连续分布下，则表示为实际上，通过（满足一定性质的）导数，我们既可以从概率测度变换至，也可以从概率测度变换至。在什么情形下，导数存在？或者说，什么情形下我们可以对概率测度进行上述变换？由于我们希望能够通过导数在两个测度之间自由变换，从数学上看，与应该都不能为零。但由于分子分母均为概率，因此：当概率测度与关于中哪些集合具有零概率是一致的时候，导数存在，我们可以在两个测度之间自由变换：1当概率测度与关于中哪些集合具有零概率是一致的时候，我们称它们为等价测度。注：对于等价测度来说，当我们称一个事件几乎必然发生时，不必指明是在哪一个测度下成立。注：在一个测度下构造的无风险组合，在其等价测度下必然也是无风险组合，因为两个等价测度对于具有概率的事件是一致的。几乎必然非负。1证明：1证明：当几乎必然严格为正时，证明：在概率空间,,上，如果是几乎必然非负的随机变量，且满足1，则对于定义的是一个概率测度。证明：由1可证其正则性。为证其可数可加性，设12,,...是中一列互不相交的集合，并定义11,。显然有123...和lim，可得1111limlimlim假设,,为概率空间，,0为域流。随机变量几乎必然为正，并且满足1。导数过程定义为|鞅性质。|||对于可测的随机变量，在由定义的概率测度下，有|给定0，对于可测的随机变量，在概率测度下，有1||证明：根据条件期望的部分平均性质：|要验证导数过程的性质，意味着要验证1|或1|由性质有1||定理定理（一维情形）设,0是概率空间,,上的布朗运动。,0是关于该布朗运动的域流。设,0是一个适应过程。定义2001exp20在220条件下，我们有1并且，在概率测度下，过程,0是一个布朗运动。证明：首先，由于遵循广义几何布朗运动的随机过程200120ttuduudWuStSe是一个鞅过程，因此1为导数过程，概率测度和是等价测度。其次，讨论定理条件。从可知从而有01因此定理条件意味着伊藤积分0和均为方差有界，是平方可积鞅。最后，验证过程,0是布朗运动。如果一个过程初始值为、具有连续路径、在时刻的二次变分为、并且具有鞅性质，该过程就是布朗运动。00且,0连续；显然的二次变分等于的二次变分。即在概率测度下是一个鞅。1因此，在概率测度下是一个鞅。1||：等价测度意味着“哪些情形可能出现”是一致的。例如在二叉树模型中，真实概率测度和风险中性概率测度都基于相同的树；在蒙特卡罗模拟中，可能的路径是一致的。不同的只是发生的概率。：是什么？定理（多维情形）设,0Wt是概率空间,,上的维布朗运动。设1,...,,0λt是一个维适应过程。定义2001exp2ZtλuλudWu0WtWtλu假设202λuZu令Z=ZT则EZ=1在由PAZωPω给出的概率测度下，过程Wt是维布朗运动。：00011λudWu1221λu式意味着0：维布朗运动意味着相互独立。Wt的分量过程在概率测度下是独立的，但在概率测度下未必独立。因为在概率测度下，尽管Wt的分量过程是独立的，但却以路径依赖的、适应的方式依赖于所有布朗运动1,...,Wt。等价鞅测度与鞅定价方法测度转换的基本定理设两种资产在风险中性测度下分别服从如下过程：σtWtvtWt其中12,,...,Wt表示风险中性测度下的d维标准布朗运动；'1,σt，'1,,vt。那么，用作为计价单位的资产的价格在测度下是鞅过程，即其中表示测度下的条件期望，概率测度的定义为：2001exp2v(s)dW(s)v(s)也就是说，在测度下的市场风险价格是资产的波动率vt。在测度下，NdWt是标准布朗运动，并有'NdWtdWtv(t)风险中性测度下的资产定价假设采用货币市场账户为计价单位。由于过程的波动率为，因此在以货币市场帐户作为计价单位的测度中，风险价格为，而风险价格为的测度正是我们前面介绍的风险中性测度。根据式，我们有()()()()定义01我们有()()这是风险中性测度的一般结论：在该测度下，资产价格的贴现服从鞅过程。公式就是其中的一个典型例子。远期测度下的资产定价如果采用时刻到期的零息债价格,作为计价单位，相应得到的测度通常称为远期测度。远期测度是我们在为利率产品定价时最常用的测度。在远期测度下，根据以及零息债到期价值为的性质，有()()(,)(,)其中表示在以(,)作为计价单位的远期测度下的期望值。从而可得资产以货币单位表示的价格为也就是说，只要知道时刻到期的零息债价格以及(,)BtT远期测度下资产到期回报的期望值，我们就可以得到该资产在时刻的价格。远期测度的基本性质是：在该测度下，未来资产价格的期望值等于该资产价格的当前的远期价格，因此该测度被称为“远期测度”。在利率上，上述性质要略作调整，令表示时刻从到的远期利率，由远期利率的定义有令则有注意到等式右边的分子是两个不同剩余期限的零息债的价差，因此对应了一项可交易资产，从而可以运用测度转换的原理得到，在以作为计价单位的远期测度下是鞅过程，即其中*表示在以*(,)作为计价单位的远期测度下的期望值。也就是说，在以*(,)作为计价单位的远期测度下，远期利率服从鞅过程，当前的远期利率就是未来对应期限即期利率的期望。这个性质在利率产品定价中常常用到，其典型代表是模型。模型假设远期利率在*,计价的远期测度下服从如下的随机过程则利率顶的定价公式为11112,,,其中1121212,1ln,2,,1,利率顶是国际金融市场上交易量最大的利率期权产品之一。远期测度适合于未来只有一次payoff的衍生产品定价。互换测度下的资产定价定义时刻的年金现值因子为1110,其中为年金的起始时刻，为每次现金流发生的时点，，而。如果以作为计价单位，根据式，我们有其中表示在以作为计价单位的测度下的期望值。从式可以看出，以年金现值因子作为计价单位的资产在该测度下服从鞅过程。事实上，在这一测度下，可以证明远期互换利率服从鞅过程，因此该测度常常被用于为互换的衍生产品定价，从而被称为互换测度。下面我们来讨论这一性质。我们已经学过，利率互换可以分解为固定利率债券与浮动利率债券的组合。考虑一个时刻开始、时刻到期的标准利率互换，固定利率和浮动利率的交换时点为，其中。设定在时刻（）的（远期）互换利率为，运用式定义的年金贴现因子，该利率互换分解得到的固定利率债券在时刻的价值可以写成而浮动利率债券的价值在时刻应等于，相应地在时刻的价值为。由于互换利率是使互换价值为的利率，因此合理的互换利率公式为与远期测度相似，式右端的分子对应了一个可交易的资产组合，因此我们可以运用式推知（远期）互换利率在以年金现值因子作为计价单位的互换测度下是一个鞅过程。这一测度多被用来为互换期权定价，典型代表为模型。模型假设在对应的互换测度下服从则相应的利率互换期权定价公式为0