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考点一数据的代表课前双基巩固考点聚焦平均数定义一组数据的平均值称为这组数据的平均数算术平均数一般地,如果有n个数x1,x2,…,xn,那么①叫做这n个数的平均数加权平均数在求n个数的平均数时,如果x1出现f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(其中f1+f2+…+fk=n),那么,𝑥=②叫做x1,x2,…,xk这k个数的加权平均数,其中f1,f2,…,fk分别叫做x1,x2,…,xk的权𝑥=1𝑛(x1+x2+…+xn)1𝑛(x1f1+x2f2+…+xkfk)课前双基巩固中位数定义将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于③为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则称中间④为这组数据的中位数防错提醒确定中位数时,一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列,再确定众数定义一组数据中出现次数⑤的数据称为这组数据的众数防错提醒(1)一组数据的众数不一定只有一个;(2)当一组数据中出现异常值时,其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势,就应考虑用中位数或众数来反映中间位置的数两个数据的平均数最多考点二数据的波动课前双基巩固表示数据波动的量定义意义方差设有n个数据x1,x2,…,xn,各数据与它们的①的差的平方分别是(x1-𝑥)2,(x2-𝑥)2,…,(xn-𝑥)2,我们用这些值的平均数,即用②来衡量这组数据波动的大小,并把它叫做这组数据的方差,记作s2方差越大,数据的波动越③,反之也成立平均数𝑥1𝑛[(x1-𝑥)2+(x2-𝑥)2+…+(xn-𝑥)2]大考点三用样本估计总体课前双基巩固1.统计的基本思想:用样本的特征估计总体的特征.2.统计的决策依据:利用数据做决策时,要全面、多角度地去分析已有数据,从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势,减少人为因素的影响.课前双基巩固对点演练题组一教材题1.[八下P121习题20.1第2题改编]在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示.成绩/m1.501.601.651.701.751.80人数232341这些运动员成绩的平均数是,众数是,中位数是.(结果保留小数点后两位)[答案]1.67m1.75m1.70m课前双基巩固2.[八下P126练习第2题改编]如图34-1是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图.观察图形,甲、乙这10次射击成绩的方差𝑠甲2𝑠乙2(填“”“=”或“”).图34-1[答案]课前双基巩固3.[八下P122习题20.1第5题]某商场招聘员工一名,现有甲、乙、丙三人竞聘,通过计算机、语言和商品知识三项测试,他们各自成绩(百分制)如下表所示.应试者计算机语言商品知识甲705080乙907545丙506085(1)若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员,对计算机、语言和商品知识分别赋权2,3,5,计算三名应试者的平均成绩,甲,乙,丙,从成绩看,应该录取.(2)若商场需要招聘电脑收银员,计算机、语言、商品知识成绩分别占50%,30%,20%,计算三名应试者的平均成绩,甲,乙,丙,从成绩看,应该录取.课前双基巩固[答案](1)69分63分70.5分丙(2)66分76.5分60分乙[解析](1)甲平均成绩为70×2+50×3+80×510=69(分);乙平均成绩为90×2+75×3+45×510=63(分);丙平均成绩为50×2+60×3+85×510=70.5(分),因此丙平均成绩最高,故丙被录取.(2)甲的平均成绩为70×50%+50×30%+80×20%=66(分);乙的平均成绩为90×50%+75×30%+45×20%=76.5(分);丙的平均成绩为50×50%+60×30%+85×20%=60(分),因此乙平均成绩最高,故乙被录取.课前双基巩固题组二易错题4.甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示:甲乙丙丁平均数(cm)177178178179方差0.91.61.10.6哪支仪仗队的身高更为整齐?()A.甲B.乙C.丙D.丁【失分点】对方差的意义理解错误;计算数据的中位数时忘记排序;方差的计算公式记忆错误.[答案]D课前双基巩固5.若一组数据4,1,7,x,5的平均数为4,则这组数据的中位数为()A.7B.5C.4D.36.数据1,2,3,4,5的方差是.[答案]5.C[解析]∵平均数为4,∴4+1+7+x+5=4×5,∴x=3,数据按照从小到大的顺序重新排序为1,3,4,5,7,∴中位数为4.6.2[解析]由题意得,数据的平均数为:1+2+3+4+55=3,所以方差为s2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)25=2.课堂考点探究探究一平均数、中位数、众数例1初三体育课上,某同学5次投掷实心球的成绩如下表所示:12345成绩(m)8.28.08.27.57.8则这组数据的平均数是,众数是,中位数是.[答案]7.94m8.2m8.0m[解析]这组数据的平均数为15(8.2+8.0+8.2+7.5+7.8)=7.94(m).按从小到大的顺序排列该同学5次投球的成绩:7.5,7.8,8.0,8.2,8.2.其中8.2出现2次,出现次数最多,8.0排在第三,∴这组数据的众数与中位数分别是:8.2m,8.0m.【命题角度】(1)计算一组数据的平均数或加权平均数;(2)求一组数据的中位数和众数;(3)选取“三数”中的一个或几个作为一组数据的代表(集中趋势).课堂考点探究[方法模型]要准确理解中位数的“中位”,计算中位数需注意两点:第一,先排序,可从大到小排,也可从小到大排;第二,定奇偶,下结论.课堂考点探究针对训练[2017·宜宾]某单位组织职工开展植树活动,植树量与人数之间的关系如图34-2,下列说法不正确的是()A.参加本次植树活动共有30人B.每人植树量的众数是4棵C.每人植树量的中位数是5棵D.每人植树量的平均数是5棵[答案]D[解析]参加本次植树活动的共有4+10+8+6+2=30(人),植树量为4棵的人数为10人,故每人植树量的众数是4棵,而中位数为第15和16人两人植树量的平均数,第15和16人的植树量均为5棵,故每人植树量的中位数是5棵,而每人植树量的平均数=4×3+10×4+8×5+6×6+2×730=7115(棵).图34-2课堂考点探究探究二方差例2初三体育素质测试,某小组5名同学成绩如下表所示:编号12345方差平均成绩得分3834■3740■37其中有两个数据被遮盖,那么被遮盖的两个数据依次是()A.35,2B.36,4C.35,3D.36,5[答案]B[解析]∵得分的平均成绩是37,∴编号3的得分是:37×5-(38+34+37+40)=36;被遮盖的方差是15[(38-37)2+(34-37)2+(36-37)2+(37-37)2+(40-37)2]=4.故选B.【命题角度】(1)根据方差公式求一组数据的方差;(2)应用方差比较两组数据的稳定性(波动性).课堂考点探究针对训练1.[2018·益阳]益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工,他们中不同文化程度的人数见下表:文化程度高中大专本科硕士博士人数9172095关于这组文化程度的人数数据,以下说法正确的是()A.众数是20B.中位数是17C.平均数是12D.方差是26[答案]C[解析]总共有5个数据,9出现了2次,故众数为9,选项A错误;排序为5,9,9,17,20,故中位数为9,选项B错误;x=9+17+20+9+55=12,即平均数为12,选项C正确;s2=(9-12)2+(17-12)2+(20-12)2+(9-12)2+(5-12)25=31.2,即方差为31.2,选项D错误.故选C.课堂考点探究2.[2017·烟台]甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图34-3所示,下列描述错误的是()A.两地气温的平均数相同B.甲地气温的中位数是6℃C.乙地气温的众数是4℃D.乙地气温相对比较稳定3.[2018·滨州]如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的方差为()A.4B.3C.2D.1[答案]2.C[解析]甲、乙两地气温的平均数都为6℃;甲地气温的中位数为6℃;乙地气温的众数为4℃和8℃;乙地气温的波动小,相对比较稳定.3.A[解析]由题意可知6+7+𝑥+9+55=2x,x=3,则2x=6.所以方差为15[(6-6)2+(7-6)2+(3-6)2+(9-6)2+(5-6)2]=4.图34-3课堂考点探究探究三平均数、众数、中位数与方差在实际生活中的应用【命题角度】(1)利用平均数、中位数、众数与方差统计分析一组数据;(2)结合统计图表,用样本估计总体.课堂考点探究例3某校积极开展国防知识教育,九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛,其预赛成绩如图34-4所示:(1)根据上图填写下表:平均数中位数众数方差甲班8.58.5乙班8.5101.6(2)根据上表数据,分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好.图34-4解:(1)甲班的众数为8.5,方差为[(8.5-8.5)2+(7.5-8.5)2+(8-8.5)2+(8.5-8.5)2+(10-8.5)2]=0.7,乙班的中位数是8.课堂考点探究例3某校积极开展国防知识教育,九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛,其预赛成绩如图34-4所示:(1)根据上图填写下表:平均数中位数众数方差甲班8.58.5乙班8.5101.6(2)根据上表数据,分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好.图34-4(2)从平均数看,两班平均数相同,则甲、乙两班的成绩一样好;从中位数看,甲班的中位数大,所以甲班的成绩较好;从众数看,乙班的众数大,所以乙班的成绩较好;从方差看,甲班的方差小,所以甲班的成绩更稳定.课堂考点探究[方法模型]中位数是一个位置代表值.如果已知一组数据的中位数,那么可以知道小于或大于这个中位数的数各占一半;众数是一个代表大多数的数据,当一组数据有较多重复数据时,众数往往是人们所关心的数;一组数据的方差越小,这组数据越稳定.课堂考点探究针对训练1.[2018·荆州]为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”,某校八年级的两班学生进行了预选,其中班上前5名学生的成绩(百分制)分别为:八(1)班:86,85,77,92,85;八(2)班:79,85,92,85,89.通过数据分析,列表如下:班级平均分中位数众数方差八(1)班85bc22.8八(2)班a858519.2(1)直接写出表中a,b,c的值.解:(1)∵a=15(79+85+92+85+89)=15×430=86,∴a=86.八(1)班成绩从小到大排列为:77,85,85,86,92,∴这组数据的中位数为85,众数为85,∴b=85,c=85.(2)根据以上数据分析,你认为哪个班前5名同学的成绩较好?说明理由.(2)我认为八(2)班成绩较好,因为八(2)班的平均成绩较高,方差较小.课堂考点探究2.甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:根据以上信息,整理分析数据如下:平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a771.2乙7b8c(1)写出表格中a,b,c的值.(2)分别运用上表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员?图34-5解:(1)甲的平均成绩a=5×1+6×2+7×4+8×2+9×11+2+4+2+1=7(环).∵乙射击的成绩从小到大重新排列为:3,4,6,7,7,8,8,8,9,10,∴乙射击成绩的中位数b=7+82=7.5(环),其方差c=110×[(3-7)2+(4-7)2+(6-7)2+2×(7-7)2+3×(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=110×(16+9+1+3+4+9)=4.2.课堂考点探究2.甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成下列两个统计图:根据以上信息,整理分析数据如下:平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲a771.2乙7b8c(2)分别运用上表中的四个