2014高三数学(理)2 - 10 离散型随机变量及分布列

第1页第十章第7讲第7讲离散型随机变量及分布列第2页第十章第7讲不同寻常的一本书，不可不读哟！第3页第十章第7讲1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.第4页第十章第7讲1个重要表格统计就是通过采集数据，用图表或其他方法去处理数据，利用一些重要的特征数信息进行评估并做出决策，而离散型随机变量的分布列就是进行数据处理的一种表格．第5页第十章第7讲2个必记数据1.表格第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进行分类，分为若干个事件，随机变量的取值，就是这些事件的代码．2.表格第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．第6页第十章第7讲3点必须注意1.搞清离散型随机变量每个取值对应的随机事件，准确确定离散型随机变量所有可能的值，不可多也不能少．2.求离散型随机变量的每一个值的概率，通常借助于排列、组合的知识，计算要准确无误．3.在求离散型随机变量概率分布列时，需充分运用分布列的性质，一是可以减少运算量；二是可验证所求的分布列是否正确.第7页第十章第7讲课前自主导学第8页第十章第7讲1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为________，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为____________．第9页第十章第7讲电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？第10页第十章第7讲一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则随机变量ξ的取值为________．第11页第十章第7讲2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn第12页第十章第7讲称为离散型随机变量X的________，简称为X的________，有时为了表达简单，也用等式________表示X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①__________；②________.第13页第十章第7讲如何求离散型随机变量的分布列？第14页第十章第7讲设随机变量ξ的分布列P(ξ＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则a的值为________．第15页第十章第7讲3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为，其中p＝________称为成功概率．X01P1－pp第16页第十章第7讲为超几何分布列．X01…mP____________…______(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝________，且____________，称分布列第17页第十章第7讲(1)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于________．(2)从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为ξ012P__________________第18页第十章第7讲1.随机变量离散型随机变量想一想：提示：电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出．所以X不是离散型随机变量．填一填：3,4,5,62．概率分布列分布列P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，npi≥0(i＝1,2，…，n)ni＝1pi＝1第19页第十章第7讲想一想：提示：首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格．填一填：115提示：由已知分布列为ξ1525354555Pa2a3a4a5a∴a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.第20页第十章第7讲3.P(X＝1)min{M，n}n≤N，M≤N，n，M，N∈N*C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnN填一填：(1)13提示：设X的分布列为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.∴由p＋2p＝1，得p＝13.第21页第十章第7讲(2)0.10.60.3提示：若P(ξ＝0)＝C22C25＝0.1，P(ξ＝1)＝C13C12C25＝0.6，P(ξ＝2)＝C23C25＝0.3.第22页第十章第7讲核心要点研究第23页第十章第7讲例1设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．第24页第十章第7讲[解]由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为：第25页第十章第7讲(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3奇思妙想：本题条件不变，求P(12X＋19)．解：P(12X＋19)＝P(2X＋1＝3)＋P(2X＋1＝5)＋P(2X＋1＝7)＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5.第26页第十章第7讲(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．第27页第十章第7讲[变式探究][2013·岳阳模拟]设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101P121－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22第28页第十章第7讲答案：C解析：由分布列的性质知1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，∴q＝1－22.第29页第十章第7讲例2[2012·陕西高考]某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1第30页第十章第7讲从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．[解]设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1第31页第十章第7讲(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.第32页第十章第7讲(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；第33页第十章第7讲X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.第34页第十章第7讲求离散型随机变量分布列的步骤：(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．第35页第十章第7讲[变式探究]一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．第36页第十章第7讲解：(1)设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果(m，n)有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为536.(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p＝C15C26＝13.所以在3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为C23p2(1－p)＝3×(13)2×(23)＝29.第37页第十章第7讲(3)随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6.P(X＝3)＝C33C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝620＝310，P(X＝6)＝C25C36＝1020＝12.所以随机变量X的分布列如下表所示：X3456P12032031012第38页第十章第7讲例3[2013·温州模拟]一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．[审题视点](1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程；(2)随机变量X服从超几何分布．第39页第十章第7讲[解](1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．第40页第十章第7讲(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为X0123P112512512112X的数学期望E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.第41页第十章第7讲1．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．2．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．第42页第十章第7讲[变式探究][2012·浙江高考]已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．第43页第十章第7讲解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121.第44页第十章第7讲所以X的分布列为X3456P5421021514121(2)由(1)知E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝133.第45页第十章第7讲课课精彩无限第46页第十章第7讲【选题·热考秀】[2012·重庆高考]甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列．第47页第十章第7讲[规范解答]设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中