2014高三数学一轮复习：2.3函数的单调性与最值

[归纳知识整合]1．函数的单调性(1)单调函数的定义：定义增函数一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1x2时，都有，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数减函数当x1x2时，都有，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)增函数减函数图象描述自左向右看图象是___________自左向右看图象是___________逐渐上升的逐渐下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间I上是或，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有(严格的)单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．单调增函数单调减函数[探究]1.函数y＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A条件如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有___________如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)结论称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为__________称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)f(x)≤f(x0)ymax＝f(x0)1．(教材习题改编)函数f(x)＝2x－1，x∈[2,6]，则下列说法正确的有________．①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)的最小值为25.解析：易知函数f(x)＝2x－1在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)min＝f(6)＝25，f(x)max＝f(2)＝2.答案：①③④答案：k－122．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则________．解析：使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k＋10，即k－12.解析：∵函数f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为x＝k8，又函数f(x)在[5,20]上为增函数，∴k8≤5，即k≤40.3．(教材习题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是________．答案：(－∞，40]函数单调性的判断或证明1()fxxx0,1例1、证明函数在区间上是减函数．求函数的单调区间2．求函数y＝x2＋x－6的单调区间．函数单调性与最值的应用[例3]已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围．2.利用函数的单调性求参数的方法及注意点利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.1.两种恒成立问题的转化1不等式mfx恒成立⇔mfxmax；2mfx恒成立⇔mfxmin.3．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．(2)两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，1fx等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．2个防范——对函数单调区间的记法及性质的防范(1)函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．(2)fx1－fx2x1－x20⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．2种形式——单调函数的等价变形设任意x1，x2∈[a，b]且x1x2，那么(1)fx1－fx2x1－x20⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(3)图象法：利用图象研究函数的单调性.判断函数单调性的方法有以下四种：(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；4种方法——函数单调性的判断(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；[变式训练]1．设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．2．若f(x)＝axx1，4－a2x＋2x≤1，是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．3．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2.