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平面向量的综合应用题型一向量与平面几何例1已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则CP→·(BA→－BC→)的最大值为________．【解析】方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3,0≤x≤4，则CP→·(BA→－BC→)＝CP→·CA→＝(x，y)·(0,3)＝3y，当y＝3时，取得最大值9.方法二：(基向量法)∵CP→＝CA→＋AP→，BA→－BC→＝CA→，∴CP→·(BA→－BC→)＝(CA→＋AP→)·CA→＝CA→2＋AP→·CA→＝9－AP→·AC→＝9－|AP→||AC→|cos∠BAC＝9－3|AP→|cos∠BAC.∵cos∠BAC为正且为定值，∴当|AP→|最小即|AP→|＝0时，CP→·(BA→－BC→)取得最大值9.点评：平面几何问题的向量解法．(1)坐标法．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法．适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．对点训练(1)(2014·山东理)在△ABC中，已知AB→·AC→＝tanA，当A＝π6时，△ABC的面积为________．【解析】根据平面向量数量积的概念得AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA，当A＝π6时，根据已知可得|AB→|·|AC→|＝23，故△ABC的面积为12|AB→|·|AC→|sinπ6＝16.(2)如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝()A．23B.32C.33D.3【解析】AC→·AD→＝(AB→＋BC→)·AD→＝AB→·AD→＋BC→·AD→＝BC→·AD→＝3BD→·AD→＝3|BD→||AD→|cos∠BDA＝3|AD→|2＝3.故选D．题型二向量与三角函数例2已知在锐角△ABC中，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos(C－3B2)取最大值时，B的大小．【思路】向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．【解析】(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0.∴sin2A＝34，∴sinA＝32.∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cos(C－3B2)＝2sin2B＋cos(180°－B－A－3B2)＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－12cos2B＋32sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.点评：解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．对点训练(2015·河南中原名校联考)在△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为对应的三条边，π3Cπ2，且ba－b＝sin2CsinA－sin2C.(1)判断△ABC的形状；(2)若|BA→＋BC→|＝2，求BA→·BC→的取值范围．【解析】(1)由ba－b＝sin2CsinA－sin2C及正弦定理，得sinB＝sin2C.∴B＝2C或B＋2C＝π.若B＝2C，且π3Cπ2，则2π3Bπ，∴B＋Cπ(舍去)．若B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵|BA→＋BC→|＝2，∴a2＋c2＋2accosB＝4.又∵a＝c，∴cosB＝2－a2a2.而cosB＝－cos2C，12cosB1，∴1a243.由(1)知a＝c，∴BA→·BC→＝a2cosB＝2－a2∈(23，1)．题型三向量与解析几何例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最小值．【解析】(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0，得|PC→|2－14|PQ→|2＝0.即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0.化简得x216＋y212＝1.所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.(2)因为PE→·PF→＝(NE→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NF→－NP→)·(NF→－NP→)＝(－NP→)2－NF2→＝NP2→－1，P是椭圆x216＋y212＝1上的任意一点，设P(x0，y0)，则有x2016＋y2012＝1，即x20＝16－4y203.又N(0,1)，所以NP2→＝x20＋(y0－1)2＝－13y20－2y0＋17＝－13(y0＋3)2＋20.因为y0∈[－23，23]，所以当y0＝23时，NP2→取得最小值(23－1)2＝13－43(此时x0＝0)．故PE→·PF→的最小值为12－43.点评：向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．对点训练若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8【解析】由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则有x204＋y203＝1，解得y20＝3(1－x204)．因为FP→＝(x0＋1，y0)，OP→＝(x0，y0)，所以OP→·FP→＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋3(1－x204)＝x204＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2.因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，OP→·FP→取得最大值224＋2＋3＝6，故选C.