2016高考数学模拟试题(含详解)

2016高考数学模拟试题(含详解)限时：120分钟一、选择题：每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项是符合题意的．1．已知集合A＝{x|lg(x－2)＜1}，集合B＝x|12＜2x＜8，则A∩B等于()A．(2,12)B．(－1,3)C．(2,3)D．(－1,12)2．已知i为虚数单位，则2－i1＋i＝()A.52B.52C.172D.1023．椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦点在y轴上，焦距为4，则m的值为()A．4B．8C．16D．94．某几何体的三视图(单位：cm)如下图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是()A．2cm3B.3cm3C．33cm3D．3cm35．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为()A.3B.32C．0D．－36．已知变量x，y满足约束条件x＋y≤1x－y≥1y≥－2，则z＝x2＋y2－1的最大值为()A．1B．2C.13D．237．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1B.7C．4＋3D．278.x－1xn的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是()A．56B．35C．－35D．－569．△ABC中，内角A、B、C对边分别为a、b、c，c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积为()A.332B.932C．3D．3310．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为a2＋b28，则该双曲线的离心率为()A.53B.73C.103D.15311．已知三棱锥P－ABC的各顶点都在以O为球心的球面上，且PA、PB、PC两两垂直，若PA＝PB＝PC＝2，则球心O到平面ABC的距离为()A.233B.3C．1D.3312．对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角θ，使得θ≥∠AOB对于曲线C上的任意两个不同点A，B恒成立，则称θ为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y＝1＋9x2x≤01＋xex－1x＞0，(其中e为自然对数的底数)，O为坐标原点，则曲线M相对于O的“确界角”为()A.π3B.π4C.2π3D.3π4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．从5名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动2人，则不同安排方案的种数为________．(用数字作答)14．若函数f(x)＝Asinωx－π6(A＞0，ω＞0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．15．以下四个命题：①设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则常数c的值是3；②若命题“∃x0∈R，使得x20＋ax0＋1≤0成立”为真命题，则实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；③圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为1∶4；④已知p∶x≥k，q∶3x＋1＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(2，＋∞)．其中真命题的序号是________．(把你认为真命题的序号都填上)16．设函数f(x)＝(x－2)2(x＋b)ex，若x＝2是f(x)的一个极大值点，则实数b的取值范围为________．三、解答题：本大题共70分，其中17～21题为必考题，22,23,24题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)数列{an}满足an＋1＝an2an＋1，a1＝1.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)求数列1an的前n项和Sn，并证明1S1＋1S2＋…＋1Sn＞nn＋1.18．(本小题满分12分)在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．(1)用样本估计总体，请根据茎叶图对甲、乙两个班级的成绩进行比较；(2)求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一个，求有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；(3)从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取2人，3人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，PA＝AB＝AC.(1)求证：AC⊥CD；(2)点E在棱PC上，满足∠DAE＝60°，求二面角B－AE－D的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝22，椭圆上的点P与两个焦点F1，F2构成的三角形的最大面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)若点Q为直线x＋y－2＝0上的任意一点，过点Q作椭圆C的两条切线QD、QE(切点分别为D、E)，试证明动直线DE恒过一定点，并求出该定点的坐标．21．(本小题满分12分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f′12·e2x－2＋x2－2f(0)x，g(x)＝fx2－14x2＋(1－a)x＋a.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)的单调区间；(3)如果s、t、r满足|s－r|≤|t－r|，那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时，试比较ex和ex－1＋a哪个更靠近lnx，并说明理由．四、请考生在第22,23,24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－1：几何证明选讲]如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，延长DB交⊙O于C，点G为BD︵的中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE.(1)求证：AG·EF＝CE·GD；(2)求证：GFAG＝EF2CE2.23．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C1的参数方程为x＝2cosθy＝3sinθ(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2.(1)分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程；(2)已知M，N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|＋|PN|的最大值．24．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|－m的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足23a＋b＋1a＋2b＝n时，求7a＋4b的最小值．参考答案：1．答案C解析A＝{x|lg(x－2)＜1}＝{x|2＜x＜12}，B＝x|12＜2x＜8＝{x|－1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}故选C.2．答案D解析∴2－i1＋i＝2－i1－i1＋i1－i＝1－3i2，∴2－i1＋i＝122＋－322＝102，故选D.3．答案B解析∵椭圆焦点在y轴上，∴m－2＞10－m＞0，∴6＜m＜10.又∵焦距为4，∴(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝8，符合题意，故选B.4．答案B解析由图知几何体的体积为V＝13·12(1＋2)·2·3＝3.5．答案A解析S＝sinπ3＋sin2π3＋…＋sin8π3＋sin9π3＝3.6．答案D解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，x2＋y2表示可行域中的点与原点之间距离的平方．在平面区域内的点C处，x2＋y2取得最大值，易知C(3，－2)，所以(x2＋y2)max＝32＋－22＝13，则(x2＋y2)max＝13，所以z＝x2＋y2－1的最大值为13－1＝23，故选D.7．答案B解析|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.故选B.8．答案D解析x－1xn的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则可知n＝8.通项为Tk＋1＝Ck8x8－k－1xk＝(－1)kCk8x8－2k，令8－2k＝2得k＝3，∴展开式中含x2项的系数为(－1)3C38＝－56，故选D.9．答案A解析由题意可得c2＝a2＋b2－2ab＋6①cosπ3＝a2＋b2－c22ab＝12②①②联立可得ab＝6，∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332，故选A.10．答案C解析由题可知直线方程为y＝－(x－c)，与y＝bax联立解得Paca＋b，bca＋b，S△OFP＝12×c×bca＋b＝a2＋b28，可得ba＝13，两边平方得b2a2＝19即c2－a2a2＝19，∴c2a2＝109，∴ca＝103，故选C.11．答案D解析由条件知三棱锥P－ABC可看作正方体的一个角，它的外接球就是三棱锥扩展为正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，且体对角线长为23，球的半径R＝3.设点P到平面ABC的距离为h，因为VP－ABC＝VA－PBC，即13h·S△ABC＝13PA·S△PBC，得h＝233，所以球心O到平面ABC的距离为R－h＝33，故选D.12．答案B解析过O作两条直线与曲线无限接近，设它们的方程分别为y＝k1x，y＝k2x，当x≤0时，曲线y＝1＋9x2与直线y＝k1x无限接近，即为双曲线的渐近线，故k1＝－3；当x0时，y′＝ex－1＋xex－1，设切点为(m，n)，则n＝k2m，n＝mem－1＋1,k2＝em－1＋mem－1，即有m2em－1＝1，由x2ex－1＋1(x＞0)为增函数，且x＝1成立，故m＝1，k2＝2，∴tanθ＝－3－21＋－3×2＝1，∴θ＝π4，故选B.13．答案30解析由题可得C25·C23＝30.14．答案1－32解析由题可知A＝1，∵T2＝2π3＋π3＝π，∴T＝2π，∴ω＝1.∴f(x)＝sinx－π6，令f(x)＝0得x＝π6，∴S阴＝∫π60－sinx－π6dx＝cosx－π6π60＝1－32.故应填1－32.15．答案①②④解析对于①因为P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)且ξ服从正态分布N(2,9)，∴c＋c－22＝2∴c＝3，故①对．对于②若命题为真命题则只须满足Δ≥0，即a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2，故②对．对于③，圆心(1,0)到直线x－y＝0的距离为12＝22，∴直线截圆所得的弦长为21－222＝2，∴较短的弧所对的圆心角为90°，故较短弧长与较长弧长之比为1∶3.③错．④由q可得x＜－1或x＞2，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故④对．∴应填①②④.16．答案b＜－2解析由条件得，f(x)＝[x3＋(b－4)x2＋(4－4b)x＋4b]ex，则f′(x)＝[x3＋(b－1)x2＋(－4－2b)x＋4]ex，易知f′(2)＝0恒成立，满足题意．记g(x)＝x3＋(b－1)x2＋(－4－2b)x＋4，则g′(x)＝3x2＋2(b－1)x＋(－4－2b)，又x＝2是f(x)的一个极大值点，∴g′(2)＜0，∴2b＋4＜0，解得b＜－2.17．解(1)证明：∵an＋1＝an2an＋1，∴1an＋1＝2an＋1an，化简得1an＋1＝2＋1an，即1an＋1－1an＝2，故数列1an是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1an＝2n－1，∴Sn＝n1＋2n－12＝n2.解法一：1S1＋1S2＋…＋1Sn＝112＋122＋…＋1n2＞11×2＋12×3＋…＋1nn＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.解法二：(数学归纳法)当n＝1时，1S1＝1，nn＋1＝12，不等式成立．假设当n＝k时，不等式成立，即1S1＋1S2＋…＋1Sk＞kk＋1.则当n＝k＋1时，1S1＋1S2＋…＋1Sk＋1Sk＋1＞kk＋1＋1k＋12，又∵kk＋1＋1k＋12－k＋1k＋2＝1－1k＋1＋1k＋12－1＋1k＋2＝1k＋2－kk＋1