2016高考数学理科二轮复习课件：专题5第一讲 空间几何体

随堂讲义专题五立体几何第一讲空间几何体空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点，单独考查三视图的逐渐减少，主要考查由三视图求原几何体的面积、体积，常以选择题、填空题的形式考查，预测2016年高考会出现给出几何体的三视图，求原几何体的表面积或体积的选择题或填空题．例1下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10πC．11πD．12π思路点拨：本题可根据三视图确定原几何体及其有关数据，然后由公式求得表面积．解析：由三视图可得该几何体是由一个底面半径为1，高为3的圆柱及其上面的一个半径为1的球组成的．故其表面积为4π×12＋2×π×12＋2π×1×3＝12π.答案：D误区警示：不能正确想象出几何体的形状会导致计算错误．(1)解答此类问题，首先由三视图想象出几何体的形状，并由相关数据得出几何体中的量，进而求得表面积或体积．(2)掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向．1．(2015·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(C)A．1B.2C.3D．2解析：根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝3.例2正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为()A．11B．12C．21D．32解析：由于G是PB的中点，故三棱锥PGAC的体积等于三棱锥BGAC的体积，在底面正六边形ABCDEF中(如右图)，BH＝ABtan30°＝33AB，而BD＝3AB，故DH＝2BH，于是VDGAC＝2VBGAC＝2VPGAC.答案：C(1)求几何体体积问题，可以多角度、多方位地考虑问题．在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解．2．设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为S1，S2，体积为V1，V2，若它们的侧面积相等且S1S2＝94，则V1V2的值是32．解析：设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1，r2、h2，则2πr1h1＝2πr2h2，h1h2＝r2r1，又S1S2＝πr21πr22＝94，所以r1r2＝32，则V1V2＝πr21h1πr22h2＝r21r22·h1h2＝r21r22·r2r1＝r1r2＝32.例3如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿对角线AC把矩形折成二面角DACB(如图2所示)，并且点D在平面ABC内的射影落在AB上．(1)证明：AD⊥平面DBC.(2)若在四面体DABC内有一球，问：当球的体积最大时，球的半径是多少？思路点拨：(1)由已知可得AD⊥CD，因此，要证AD⊥平面DBC，只需证明AD⊥BC或AD⊥BD即可．(2)要使球的体积最大，则该球与四面体DABC的各面都相切．解析：(1)证明：设D在平面ABC内的射影为H，则H在AB上，连接DH，如图，则DH⊥平面ABC.得DH⊥BC，又AB⊥BC，AB∩DH＝H，则BC⊥平面ADB，故AD⊥BC.又AD⊥DC，DC∩BC＝C，于是AD⊥平面DBC.(2)当球的体积最大时，易知球与三棱锥DABC的各面相切，设球的半径为R，球心为O，则VDABC＝13R(S△ABC＋S△DBC＋S△DAC＋S△DAB)．由已知可得S△ABC＝S△ADC＝6.过D作DG⊥AC于点G，连接GH(见上图)，可知HG⊥AC.易得DG＝125，HG＝2720，DH＝DG2－HG2＝374，S△DAB＝12×4×374＝372.在△DAB和△DBC中，因为AD＝BC，AB＝DC，DB＝DB，所以△DAB≌△BCD，故S△DBC＝372，VDABC＝13×6×374＝372.则R36＋327＋6＋327＝372.于是(4＋7)R＝327，所以R＝372×（4＋7）＝47－76.(1)在折叠问题中，关键要弄清折叠前后线面关系的变化和线段长度及角度的变化，抓住不变量解决问题．(2)在折叠问题中，线段的长度是不变量，而平行与垂直等是一个相对不变量，即它的不变性取决于折叠的位置，如本题中沿对角线AC折叠，所以AD与DC以及AB与BC的垂直关系均保持不变．3．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为43π．分析：本题可以根据已知条件及球与正六棱柱的关系求出球的半径，进而求得体积．解析：由已知可求得正六棱柱的底面边长为12，而外接球的直径恰好为最长的对角线长．设球的半径为R，则(2R)2＝12＋(3)2＝4.∴R＝1.∴V球＝43πR3＝43π.1．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．2．若球面四点P，A，B，C构成的线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2，把有关元素“补形”为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法．3．三视图题要求能画出简单几何体的三视图，并且能画出给出三视图的几何体的直观图，这部分内容常作为对空间想象能力的考查．4．“空间问题平面化”是求解立体几何综合问题的基本思路．转化法是处理立体几何综合问题的基本方法，要善于将空间图形平面化，将复杂图形基本化．5．分析法、反证法、割补法、等体积法是处理立体几何综合问题的常用方法，要切实掌握并熟练运用．6．切实提高处理空间图形的能力．综合运用平面几何、三角、代数、解析几何的有关知识，灵活运用转化、联想、类比等思想方法，是求解立体几何综合问题的关键．