高考数学复习课件(理)：第9讲二次函数与一元二次方程

1新课标高中一轮总复习理数理数2•第二单元•函数3第9讲二次函数与一元二次方程4掌握二次函数的概念、图象特征；掌握二次函数的性质，会求二次函数在给定区间上的最值；掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系，提高综合解题的能力.51.已知f(x)=x2+ax+b,f(1)=0,f(2)=0,则f(-1)=.6由f(1)=0，f(2)=0，得方程x2+ax+b=0的两根是1,2，所以a=-3，b=2.故f(x)=x2-3x+2，所以f(-1)=6.62.如果不等式f(x)=ax2-x-c0(a、c∈R)的解集为（-2，1），那么函数y=f(-x)的大致图象是()C7由ax2-x-c0的解集为（-2，1），知a0,且有=-1,-=-2a=-1,c=-2,所以f(-x)=-x2+x+2,选C.1aca3.关于x的二次方程x2+ax+a2-4=0的两根异号，则a的取值范围是.(-2,2)4.函数y=4x-2x+1-5的值域是.[-6,+∞)令t=2x，则y=t2-2t-5=(t-1)2-6(t0),所以y≥-6.85.当x∈(1,2)时，x2+mx+40恒成立，则m的取值范围是.(-∞,-5]（方法一）设f(x)=x2+mx+4，则f(1)≤0m+5≤0f(2)≤04+2m+4≤0（方法二）m-=-(x+)(1x2).因为g(x)=x+4x在(1,2)上是递减的，所以4g(x)5，所以m≤-5.24xxm≤-5.4x91.函数①叫做二次函数，它的定义域是R，这是二次函数的一般形式,另外,还有顶点式:②,其中(h,k)是抛物线顶点的坐标.两根式：③,其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标.2.二次函数的图象是一条④,经过配方,可得y=ax2+bx+c=⑤,顶点为⑥,对称轴为直线⑦.其图象及主要性质如下表：y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)抛物线a(x+)2+2ba244acba(-,)2ba244acbax=-2ba10a0,开口向上a0,开口向下图象性质定义域为R值域为⑧.值域为⑨.当x=⑩时,函数有.当x=时,函数有.在区间（-∞,-］上为.函数,在区间［-,+∞)上为.函数在区间（-∞,-］上为.函数,在区间［-,+∞)上为.函数(-∞,］244acba11244acba［,+∞)244acba-2ba最小值12-2ba244acba最大值2ba1314减2ba15增2ba增1617减2ba113.一元二次方程根的分布.(1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根：ac0;Δ0x1+x2=-0x1·x2=0;Δ0x1+x2=-0x1·x2=0;bacabaca两正根两正根c=0.12(2)实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示:根的分布图象充要条件x1x2kΔ0f(k)0-k2ba13kx1x2Δ0f(k)0-kx1kx2f(k)0x1、x2∈(k1,k2)f(k1)0f(k2)0k1-k22ba2ba14题型一二次函数及它在闭区间上的值域典例精讲典例精讲例1已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0，f(1)=1.（1）求f(x)的解析式；（2）若f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n]，求m、n的值.15（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由已知得-=1c=0，解得a+b+c=1所以f(x)=-x2+2x.（2）f(x)=-(x-1)2+1，显然n≤1,所以区间[m,n]在函数的对称轴x=1的左边,所以f(m)=mf(n)=n,即m、n是方程-x2+2x=x的两根.又mn，所以m=0，n=1.2baa=-1b=2c=0.16点评点评1.求二次函数的解析式，常用待定系数法，若能恰当选择其形式，将可化繁为简.2.条件二次问题，注意一看开口方向，二看轴的位置，三算端点数值.若盲目分类，“前途”将很渺茫.17已知函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0).（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）当a0时，方程f(x)=x的两实根x1、x2满足x11x22，求证:-4.题型二二次函数的性质及二次方程根的分布例2ba18（1）当b=0时,f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数；当b≠0时，f(-x)≠-f(x)，f(-x)≠f(x),所以f(x)是非奇非偶函数.（2）证明:方程f(x)=x,化为ax2+(b-1)x-2=0.设g(x)=ax2+(b-1)x-2(a0)，19因为x11x22，故如图知，g(1)0a+b-1-20①g(2)04a+2(b-1)-20,②①×4+②×(-3)，得-4a-b0.因为a0，所以-4.ba一元二次方程根的分布，即二次函数零点的分布，关键在于作出二次函数的草图，由此列出不等式组，要注意二次函数的对称轴与Δ与方程根的关系.点评点评20题型三二次函数的综合问题例3已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0)，且f(1)=0.（1）求y=f(x)的表达式；（2）若函数y=f(x)在区间[-1,]上的最小值为-5，求此时t的值和对应的x的值.22t24t1221（1）设f(x)=a(x-)2-(a0).因为f(1)=0，所以(a-1)=0.又t≠0，所以a=1，所以f(x)=(x-)2-(t≠0).（2）因为f(x)=(x-)2-(t≠0),当-1，即t-4时，f(x)min=f(-1)=(-1-)2-=-5，所以t=-；当-1≤≤，即-4≤t≤-1时，22t1224t24t22t22t24t22t22t24t22t9224t22f(x)min=f()=-=-5，所以t=±(舍去）；当，即t-1时，f(x)min=f()=(-)2-=-5,所以t=-（舍去）.综上得，所求的t=-，对应的x=-1.定区间上二次函数的最值问题需要分段考查区间端点与对称轴的关系，分别求最值.点评点评259224t22t12121222t24t21222t23设函数f(x)=|x2-4x-5|.(1)在区间［-2,6］上画出函数f(x)的图象；(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给予证明；(3)当k2时，求证：在区间［-1,5］上，y=kx+3k的图象位于函数f(x)图象的上方.备选题备选题24(1)将函数解析式变形为f(x)=x2-4x-5(x5或x-1)-x2+4x+5(-1≤x≤5).f(x)在区间［-2,6］上的图象如下：(2)方程f(x)=5的解分别是2-,0,4和2+.由于f(x)在(-∞,-1］和［2，5］上单调递减,在［-1，2］和［5，+∞)上单调递增，141425因此，A=（-∞,2-)∪［0,4］∪［2+,+∞).由于2+6,2--2,所以BA.(3)（证法一)最值法.当x∈［-1,5］时，f(x)=-x2+4x+5，g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5).因为k2,所以1.又-1≤x≤5,①当-1≤1,即2k≤6时，取x=,14141442k1442k42k26g(x)min=-=-［(k-10)2-64］.因为16≤(k-10)264,所以(k-10)2-640,则g(x)min0.②当-1,即k6时，取x=-1,g(x)min=2k0.由①②可知，当k2时,g(x)0,x∈［-1,5］.因此,在区间［-1,5］上，y=k(x+3)的图象位于函数f(x)的图象的上方.(证法二)判别式法.当x∈［-1,5］时，f(x)=-x2+4x+5.220364kk1442k27由y=k(x+3)y=-x2+4x+5,得x2+(k-4)x+(3k-5)=0,令Δ=(k-4)2-4(3k-5)=0,解得k=2或k=18.在区间［-1，5］上,当k=2时,y=2(x+3)的图象与函数f(x)的图象只交于一点（1，8）;当k=18时，y=18(x+3)的图象与函数f(x)的图象没有交点.由图可知,由于直线y=k(x+3)过点(-3,0),当k2时,直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到.因此,在区间［-1,5］上,y=k(x+3)的图象位于函数f(x)的图象的上方.28方法提炼方法提炼1.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解他们之间的关系，运用函数与方程的思想将他们进行转化，这是准确迅速解决此类问题的关键.29最值，另一最值在区间端点处取得；当x＝-［m,n］时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.(2)含参数的二次函数在某个区间上的最值问题常需分类讨论.要抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合开口方向及单调性进行分类讨论求解.2ba2.对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在［m,n］上的最值的研究是本讲内容的重点.对如下结论必须熟练掌握:(1)当x=-∈［m,n］时,是它的一个2ba244acba303.二次函数f(x)=ax2+bx+c.当a0且Δ0x∈R,f(x)0成立；当a0且Δ0x∈R,f(x)0成立.31(2009·福建卷)函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于直线x=-对称.据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p，关于x的方程m［f(x)］2+nf(x)+p=0的解集都不可能是()走进高考走进高考学例12baDA.{1,2}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}32若方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集是{1,4,16,64}，则该方程化为f(x)=t1和f(x)=t2，每个方程有不同的实根.而由f(x)=ax2+bx+c的对称轴性知f(x)=t1和f(x)=t2的两个根也应关于x=-对称，即这四个数1,4,16,64中必有两对数的和相等，这是不可能的.2ba33(2009·江苏卷)设a为实数,函f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥１，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值.学例2(1)若f(0)≥1,则-a|a|≥1a≤-1.故a的取值范围是(-∞,-1］.a0a2≥134f(a)(a≥0)f()(a0)当x≤a时，f(x)=x2+2ax-a2,f(-a)(a≥0)-2a2(a≥0)f(a)(a0)2a2(a0).-2a2(a≥0)(a0).2a2(a≥0)(a0);3a=223a则［f(x)］min=则f(x)min==综上,f(x)min=223a(2)当x≥a时，f(x)=3x2-2ax+a2,35本节完，谢谢聆听