高考数学复习：题型解法训练之立体几何解答题的解法

专题七立体几何解答题的解法试题特点专题七立体几何解答题的解法1.近三年高考各试卷立体几何考查情况统计立体几何在每一年高考中都有一个解答题，这是不变的，主要考查空间位置关系（线线、线面及面面的平行与垂直）及空间量（线线角、线面角、面面角、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离），一般以三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥作为考查的载体，当然，也有不规则几何体，如2006湖南卷的八面体，2007江西卷的不规则体.试题特点专题七立体几何解答题的解法2.主要特点(1)解答题的考查稳中求新，稳中求活.解答题在考查中经常涉及的知识及题型有：①证明“平行”和“垂直”，②求多面体的体积，③三种角的计算，④有关距离的计算，⑤多面体表面积的计算.这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等.但近几年来，也推出了一些新题型，就是开放性试题，也是探索性的问题，如2000年的第18题.试题特点专题七立体几何解答题的解法(2)依托知识，考查能力.由于近几年加强了对能力的考查，因此应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养，因高考数学是通过知识考能力，本章尤其突出的是空间想象能力，而空间想象能力并不是漫无边际的胡想，而应以题设为根据，以某一几何体为依托，这样会更好的帮助你解决实际问题，提高解题能力.(3)一题两法，支持新课程改革.立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可用传统的几何方法解决，并且向量方法比用传统方法解决较为简单，对中学数学教学有良好的导向作用，符合数学教材改革的要求，有力地支持了新课程的改革.应试策略专题七立体几何解答题的解法1.平行、垂直位置关系的论证证明空间线面平行或垂直需要注意以下几点：(1)理清平行、垂直位置关系的相互转化应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法(2)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.(3)立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.(4)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑，应用时需要先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用方法之一.应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法2.空间角的计算主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算.(1)两条异面直线所成的角①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线.②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.③向量法：直接利用向量的数量积公式cosθ=（注意向量的方向）.||||baba应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算.②用公式计算sinθ=(PM直线l，M∈面α,θ是l与α所成的角，n是面α的法向量）.(3)二面角①平面角的作法：(ⅰ)定义法；(ⅱ)三垂线定理及其逆定理法；(ⅲ)垂面法.||||||nPMnPM应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法②平面角计算法：(ⅰ)找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算；(ⅱ)射影面积法：cosθ=；(ⅲ)向量夹角公式：|cosθ|=，n1,n2是两面的法向量.(θ是锐角还是钝角，注意图形和题意取舍）.*求平面的法向量：①找；②求：设a,b为平面α内的任意两个向量，n=(x,y,1)为α的法向量,则由方程组，可求得法向量n.sS射影||||||2121nnnn00nbna应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法3.空间距离的计算(1)两点间距离公式（线段的长度）|AB|=(A(xA,yA,zA),B(xB,yB,zB）)(2)求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离.(可用向量法来计算)222)()()(||BABABAzzyyxxAB应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法(3)求两条异面直线间距离，一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情形高考不作要求）.(4)求点到平面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”.求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解.（向量法：(N为P在面α内的射影，M∈α,n是面α的法向量）.||||||nnPMPN应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法1.（2007·南通市模拟题）如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a，BC=b，PA=c（1）建立适当的空间直角坐标系，写出A、B、M、N点的坐标，并证明MN⊥AB；（2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ，当θ为何值时（与a、b、c无关），MN是直线AB和PC的公垂线段.应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法［解析］（1）证明：以A为原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则A（0，0，0），B（a，0，0），M（，0，0），N（，，）.=（a，0，0），=（0，，）.·=0AB⊥MN.2a2b2c2aABMNABMN2b2c应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法（2）P（0，0，c），C（a，b，0），=（a，b，－c），若MN是PC、AB的公垂线段，则·=0，PCPCMN即－=0b=c.∵∴∠PDA是二面角P—CD—A的平面角.∴∠PDA=45°，即二面角P—CD—A是45°.22b22cPDCDDACDABCDAP面应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法［点评］在高考立体几何题中，利用向量法解题，正确建立空间直角坐标系是解题的前提，同时也要熟悉向量法处理这些问题的方法.应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法2.（2007·东北三校质检题）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上的动点.（1）证明D1E⊥A1D；（2）若二面角D1—EC—D为45°时，求EB的长.应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法［解析］解法1：（1）证明：对长方体ABCD—A1B1C1D1，有AB⊥平面AA1D1D，A1D平面AA1D1D,∴AB⊥A1D由侧面AA1D1D是矩形且AD=AA1=1，∵A1D⊥AD1，∵AD1∩AB=A，∴A1D⊥平面ABD1，又D1E平面ABD1∴D1E⊥A1D应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法（2）过D作DG⊥EC，垂足为G，连结D1G对长方体ABCD—A1B1C1D1，有D1D⊥平面ABCD根据三垂线定理有D1G⊥EC，∴∠D1GD是二面角D1—EC—D的平面角∵二面角D1—EC—D为45°，则∠D1GD=45°，又D1D=A1A=1∴DG=1在矩形ABCD中AB=2，AD=1由S△DEC=×EC×DG=1得EC=2,∴EB==2122BCEC3应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法解法2：（1）证明：对长方体ABCD—A1B1C1D1，以D为坐标原点，AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图所示）.由AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上的动点，设BE=m.∴D（0，0，0），D1（0，0，1）A1（1，0，1），E（1，2－m，0），C（0，2，0）（1）=(1,2－m,－1),=(－1,0,－1),∵·=－1+1=0∴⊥,即D1E⊥A1DED1DA1DA1ED1ED1DA1应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法（2）∵D1D⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量=(0,0,1)设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z),由n⊥得n·=0又=(0,2,－1)∴2y－z=0又=(1,2－m,－1),∴x+(2－m)y－z=0取y=1，z=2，x=m∴n=(m,1,2)∵二面角D1—EC—D为45°∴·n=||×|n|×cos45°即2=×,解得m=,即EB=1DDCD1CD1CD11DD1DD412m2233ED1应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法［点评］本题第1问事实上是考查三垂线定理，当然也可用线面垂直来证，在第二问的处理中，如果用非向量的方法，画分图是一个常用的方法，这样由于空间位置关系的失真可以避免出错.画分图就是将空间图形中的某一个平面画出来，然后用平面几何的相关知识来求边与角的信息.应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法应试策略专题七立体几何解答题的解法考题剖析专题七立体几何解答题的解法3.（2007·岳阳市模拟题）如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1.［证明］解法1：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；考题剖析专题七立体几何解答题的解法解法2：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）23考题剖析专题七立体几何解答题的解法（1）∵=（－3,0，0），=（0，－4,0），∴·=0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交点为E，则E（0,2，2）.∵=（－，0,2），=（－3,0，