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210121022103210421052106210721082109210102004年20届物理奥赛决赛卷10.27一、5个质量相等的匀质球，其中4个半径均为a的球，静止放在半径为R的半球形碗内，它们的球心在同一水平面内．另1个半径为b的球放在4球之上．设接触面都是光滑的，试求碗的半径R的值满足什么条件时下面的球将相互分离．二、一人造地球卫星绕地球做椭圆运动，地心是椭圆的一个焦点，在直角坐标系中，椭圆的轨迹方程为12222byaxa、b分别是椭圆的长半轴和短半轴，为已知常数．当该人造卫星在轨道的远地点时，突然以很大的能量沿卫星运行方向从卫星上发射出一个质量为m的太空探测器，这探测器在地球引力作用下做双曲线运动，此双曲线的焦点位于地心，实半轴的长度正好等于原来椭圆远地点到地心的距离．试问在发射时，给探测器的能量为多大?设地球的质量mE、万有引力常量G为已知，不计地球以外星体的影响．三、如图决所示，金属飞轮具有n条辐条，每条辐条长l，可绕转轴OO′旋转．飞轮处在匀强磁场中，磁场方向与转轴平行，磁感强度为B．转轴与飞轮边缘通过电刷与电阻R、电感L连成闭合回路．飞轮及转轴的电阻和转动过程的摩擦均不计．1．现用一恒定的外力矩M作用于飞轮，使它由静止开始转动，求当飞轮转动达到稳定时，转动角速度Ω0和通过电阻R的电流I0．210112．在飞轮转速达到稳定后，突然撤去外力矩M，则飞轮的角速度Ω和通过电阻R的电流，都将随时间变化．当R取不同值时，角速度随时间变化的图线Ω(t)和电流随时间变化的图线，I(t)将不同．现给出了Ω(t)图线各6条(附本题后)，各图中都把刚撤去外力矩M的时刻作为起始时刻，即t=0的时刻，此时刻的角速度Ω=Ω0，电流I=I0．角速度Ω各图的纵坐标单位相同，电流I各图的纵坐标单位相同，各图的时间轴横坐标的单位均相同．试从这些图线中选出可能正确表示飞轮的角速度Ω随时间变化的图线Ω(t)，以及与所选图线对应的最接近正确的电流，随时间变化的图线I(t)．把你选出的图线Ω(t)与对应的I(t)图线在下面的图线符号之间用直的实线连接起来．注意：只有全部连接正确的才能得全分，连对但不全的可得部分分，有连错的得零分．四、如图决所示，y轴右边存在磁感强度为2B0的匀强磁场，y轴左边存在磁感强度为B0的匀强磁场，它们的方向皆垂直于纸面向里．在原点O处，一个带正电的电荷量为q、质量为m的粒子a，在t=0时以大小为2v0的初速度沿x轴方向运动．在粒子a开始运动后，另一质量和电荷量都与a相同的粒子b从原点0以大小为v0的初速度沿负x轴方向开始运动．要想使a和b能在运动过程中相遇，试分析和计算它们出发的时间差的最小值应为多大，并求出与此对应的相遇地点的坐标．设整个磁场区域都处于真空中，且不考虑重力及a、b两粒子之间相互作用力．五、一位近视眼朋友不戴眼镜时，能看清的物体都在距眼睛a=20cm以内．他发现，如果在眼前靠近眼睛处放一个有小圆孔的卡片，通过小圆孔不戴眼镜看远处的物体时也能看得清晰些．1．若小圆孔直径为D，试根据几何光学原理求出当近视眼直视远处的一个点物时，眼的视网膜上产生的光斑的直径．2．再考虑小圆孔的衍射效应，求小圆孔直径最恰当的大小．计算时可取可见光的平均波长为600nm．[提示]1．人眼是一个结构比较复杂的光学系统，在本题中，可将人眼简化成一个焦距．厂可调的薄透镜和一个可成像的视网膜，透镜的边缘为瞳孔，两侧介质均为空气，视网膜与透镜的距离为b．2．小圆孔的存在对透镜成像的影响介绍如下:在几何光学中，从远处物点射向透镜的、平行于光轴的平行光束将会聚于透镜的焦点上，这就是像．如果在透镜前放一直径为D的小圆孔，则将发生光的衍射，在焦点处像屏上将出现如图左所示的衍射图样，其中央是一个明21012亮的圆斑，圆斑外周是一组亮度逐渐减弱的亮暗相间的同心圆环，由于这些圆环亮度比中央圆斑弱得多，观察时可以不予考虑．中央圆斑的半径对薄透镜中心的张角△θ的大小与D有关．理论计算得到△θ=1．22λ/D式中λ是所用光的波长，这圆斑就是有小圆孔时观察到的物点的“像”，如图右所示．由上式可见，D越大，像斑就越小，点物的像就越接近一个点，物体的像越清晰；反之，D越小，点物的衍射像斑就越大，物体的像就越不清晰．如果观察屏不在焦点处而在焦点附近，屏上将出现类似的衍射图样，其中央亮斑对透镜中心的张角△θ可近似地用上式计算．六、设地球是一个半径为6370km的球体．在赤道上空离地面1千多公里处和赤道共面的圆与赤道形成的环形区域内，地磁场可看作是均匀的，其磁感强度为B=3.20×10-6T．某种带电宇宙射线粒子，其静质量为m0=6.68×10-27kg，其电荷量为q=3.20×lO-19C，在地球赤道上空的均匀地磁场中围绕地心做半径为R=7370km的圆周运动．已知在相对论中只要作用于粒子的力F的方向始终与粒子运动的速度v的方向垂直，则运动粒子的质量m和加速度a与力F的关系仍为F=ma，但式中的质量m为粒子的相对论质量．问：1．该粒子的动能为多大?2．该粒子在圆形轨道上运动时与一个不带电的静质量为m2=4m0的静止粒子发生碰撞，并被其吸收形成一个复合粒子，试求复合粒子的静质量m1．210132101421015210162101721018210192102021021第21届全国中学生物理竞赛决赛试卷一、（20分）有一光光导纤维，光芯折射率n=1.500的透明度极好的介质，其截面半径为r；光芯外面包层的折射率n=1.400。有一半导体激光器S，位于光纤轴线的延长上，发出半角宽为30o的光束。为便于使此光束全部进入光纤，在光纤端面处烧结了一个其材料与光芯相同的、半径为R的球冠QAQ＇，端面附近的结构如图所示（包层未画出），S可看作点光源，光纤放在空气中，空气的折射率n0按1.000计算。210221、若要半导体激光器发出的光能够全部射到球冠上，则光源S离A的距离x应满足什么条件？2、如果R=1.8r,光源S与A的距离为R，入射与轴的夹角用α表示，则α角分别为α1=30o、α2=25o和α3＝20o的三根光线能否经过全反射在光纤中传播？.二、（20分）试从相对论能量和动量的角度分析论证1、一个光子与真空中处于静止状态的自由电子碰碰撞时，光子的能量不可能完全被电子吸收。光子射到金属表面时，其能量有可能完全被吸收被使电子逸出金属表面，产生光电效应。21023三、（25）如图所示，一质量M=30.0Kg的楔形木块OABC静止在水平地面上，其斜面段AB的倾角，BC段的倾角α=45o，AB段与BC段连接处（B）为一非常短的光滑圆弧，现将一质量的m=4.00Kg小物块（可视为质点），放在斜面上离地面高h1=2.80m的A处，然后放手，令小物块从静止开始斜面下滑，已知小物块与斜面之间无摩擦，木块与地面间的最大静摩擦系数和滑动摩擦系数为μ=6.00*10-2，B处离桌面的高度h2=2.00m，如果不计小物块经过处B时(β=60o)物块及木块速度大小的改变，求小物块从斜面上A处滑动到斜面底部C处整个过程中小物块对木块所做的功（取重力加速度g=10.0ms-2）21024四、（25分）由如图所示的电路，其中E为内阻可以忽略的电源的电动势，R为电阻的阻值；K为开关；A、B右边是如图所标的8个完全相同的容量均为C的理想电容器组成的电路，问从合上K到各电容器充电完毕，电阻R上发热消耗的能量是多少？（在解题时，要求在图上标出你所设定的各个电容器极板上电荷的正负）五、（25分）如图所示，K为一带电粒子发生器，从中可以不断地射出各种不同速率的带电粒子，它们都带正电，电量为q，质量为m，速度的方向都沿图中的虚线，D1、D2为两块档板,可定时开启和关闭。C1、C2为两扇“门”,C1紧靠D1，两门之间的距离为l，两个门上都加上交变电压u=U0sin(2лt/T)，T为交变电压的周期，已知只有当上电压的值为零附近的无限短的时间内，粒子才能通过该门，G为能量增减器，它紧靠档板D2，到门C2的距离为l/2，当带电粒子在t时刻通过G时，粒子获得一定的能量ΔE=E0sin(2лt/T+л/4),但速度的方向不变，式中E0=(21/2/4)ml2/T2，通过G的粒子从O点进入G右侧的匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直面向里（整个装置都放在真空中）。在磁场区建立以O作为原点的如图所示的直角坐标系oxy，MN为磁场区域的边界，它平行于x轴，现在的t=0时刻，同时打开D1与D2，让粒子进入C1，在时刻t＝3T/4，关闭档板D1，使粒子无法进入C1，在时刻t＝10T/4，再关闭档板D2，使粒子无法进入G，已知从O进入磁场中速度最大的粒子经过坐标为(3cm,3cm)的Q点，问：假如要使从O进入磁场中速度最小的粒子能经过Q点，则应将磁场边界MN在平面内oxy平移到什么位置。21025六、（25分）如图，a、b、c、d是位于光滑水平桌面上的四个小物块，它们的质量均为m。a、b间有一自然长度为l,劲度系数为k1的弹簧联结；c、d之间有一自然长度为l,劲度系数为k2的弹簧联结；四个物块的中心在同一直线上。如果b、c发生碰撞，碰撞是完全弹性的，且碰撞时间极短，开始时，两个弹簧都处在自然长度状态，物块c、d静止物块，a、b以相同的速度v0向右运动，试定量论述（1）若k1=k2，四个物块相对于桌面怎样运动？（2）若k1=4k2，四个物块相对于桌面怎样运动？21026第21届全国中学生物理竞赛决赛答案210272102821029210302103121032210332103421035210362103721038210392104021041210422006年22届物理奥赛决赛卷10.30一、如图所示，一细光束由空气中射到一透明平行平板的上表面，经折射后由平板下表面射出．此细光束由两种不同频率的单色光①和②构成．用i表示入射角，用n1和n2分别表示平板对①和②的折射率，且已知n1n2.1．试分析讨论哪种单色光在穿过平板的过程中所用的时间较短．2．若n1=1.55，n2=1.52可做出什么判断?若n1=1.40，n2=1.38，又可做出什么判断?21043二、如图所示，劲度系数为k=40.0N／m的轻质水平弹簧的左端固定在壁上，右端系一质量M=3.00kg的小物块A，A的右边系一轻细线，细线绕过轻质光滑的定滑轮后与轻挂钩相连．物块A放在足够长的水平桌面上，它与桌面间的静摩擦因数μ0=0.200，而动摩擦因数μ=0.180．滑轮以左的轻绳处于水平静止状态，弹簧的长度为自然长度．现将一质量m=2.00kg的物块B轻轻地挂在钩上，然后放手．求此后整个过程中克服摩擦力所做的功和经历的时间．取g=10m／s2．三、如图所示，A、B是两个内径相同的圆柱形气缸，竖直放置在大气中，大气压强为p0．质量都是m的活塞分别把都是nmol的同种理想气体封闭在气缸内，气缸横截面的面积为S．气缸B的活塞与一处在竖直状态的劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧的上端固定．初始时，两气缸中气体的温度都是T1，活塞都处在平衡状态，弹簧既未压缩亦未拉长．现让两气缸中的气体都缓慢降温至同一温度，已知此时B中气体的体积为其初始体积的a倍，试求在此降温过程中气缸A中气体传出的热量QA与气缸B中气体传出的热量QB之差．四、缓冲器是用来减少车辆间冲击作用的一种装置，下图所示是一种常用的摩擦缓冲器的断面简化示意图．图中N是缓冲器的弹簧盒．C和D是两块完全相同的、截面为梯形的楔块，两楔块上、下对称放置，左、右端分别与垫板P、Q相接触，楔块的斜面与水平面的夹角均为a．A是劲度系数为k1的弹簧，两端分别与C、D固连．B是劲度系数为k2的弹簧，一端与Q固连，另一端与弹簧盒的壁固连．楔块C、D与各接触面之间均可滑动,动摩擦因数均为μ．工程上用吸收率来表示缓冲器性能的优劣．测定吸收率时，将缓冲器的右侧固定，左侧用实验车由左向右撞击垫板P．在压缩阶段，在冲击力F作用下，缓冲器的弹簧被压缩至最紧(但未超过弹性限度)时，加在P上的外力F做功W；在弹簧恢复的过程中，缓冲器反