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第22讲锐角三角函数和解直角三角形1．锐角三角函数的意义：Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：∠α的正弦sinα＝∠α的对边斜边；∠α的余弦cosα＝∠α的邻边斜边；∠α的正切tanα＝∠α的对边∠α的邻边．2．30°，45°，60°的三角函数值如下表：3.同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝____；tanα＝．函数的增减性：(0°＜α＜90°)(1)sinα，tanα的值都随α的增大而；(2)cosα随α的增大而．1sinαcosα增大减小4．解直角三角形的概念、方法：解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则：(1)边与边的关系：；(2)角与角的关系：；(3)边与角的关系：a2＋b2＝c2∠A＋∠B＝90°sinA＝cosB＝ac，，cosA＝sinB＝bc，tanA＝ab，tanB＝ba5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题．(1)铅垂线：重力线方向的直线；(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；(5)坡角：坡面与水平面的夹角；(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝hl＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为“上北下南，左西右东”．1．(2015·兰州)如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝()A.52B.12C.255D.552．(2013·兰州)△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是()A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝bDA3．(2014·甘肃省)△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝32，cosB＝12，则∠C＝____．4．(2014·天水)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA＝．5．(2015·甘肃省)已知α，β均为锐角，且满足|sinα－12|＋（tanβ－1）2＝0，则α＋β＝____．60°25575°6．(2015·甘肃省)如图①所示，将直尺摆放在三角板ABC上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，量得∠CGD＝42°.(1)求∠CEF的度数；(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示．点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长(结果保留两位小数)．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)解：(1)∵∠CGD＝42°，∠C＝90°，∴∠CDG＝90°－42°＝48°，∵DG∥EF，∴∠CEF＝∠CDG＝48°(2)∵点H，B的读数分别为4，13.4，∴HB＝13.4－4＝9.4，∴BC＝HBcos42°≈9.4×0.74≈6.967．(2015·甘南州)如图，从热气球C上测得两建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为90米，且点A，D，B在同一直线上，求建筑物A，B间的距离(结果保留根号)．解：由题可知，∠CAD＝∠ACE＝30°，tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝90tan30°＝903.同理，∠CBD＝∠BCF＝60°，tan∠CBD＝CDDB，∴DB＝90tan60°＝303，∴AB＝AD＋BD＝903＋303＝1203，故建筑物A，B间的距离为1203米8．(2015·天水)2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A，B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图)，试确定生命所在点C与探测面的距离．(参考数据2≈1.41，3≈1.73)解：过C作CD⊥AB于点D，设CD＝x米，由题意，可知∠CBD＝45°，∴DB＝CD＝x米，∵∠CAD＝30°，∴AD＝3CD＝3x米，∵AB相距2米，∴3x－x＝2，解得：x≈2.73.故生命所在点C与探测面的距离约是2.73米【例1】(2015·丽水)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列线段比表示cosα的值，错误的是()A.BDBCB.BCABC.ADACD.CDACC【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α＝∠ACD是解题的关键．[对应训练]1．(2014·武汉)如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是()A.51213B.125C.3513D.2313B【例2】(1)(2015·庆阳)在△ABC中，若角A，B满足|cosA－32|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是()A．45°B．60°C．75°D．105°(2)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°.D解：原式＝33×32＋(32)2－12＝12＋34－12＝34【点评】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．[对应训练]2．计算：cos260°－cos60°1－sin30°＋tan245°－sin245°.解：原式＝(12)2－121－12＋1－12＝－14【例3】如图，AD是△ABC的中线，tanB＝13，cosC＝22，AC＝2.求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值．解：(1)过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC＝22，∴∠C＝45°，在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，∴AE＝CE＝1，在Rt△ABE中，tanB＝13，即AEBE＝13，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝12BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝22【点评】将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件．[对应训练]3．(2014·宁夏)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.求BC的长．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝ADAB＝13，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝32－12＝22.在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝BD＋DC＝22＋1【例4】(2014·广安)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？解：(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长602米，D是AB的中点，∴BD＝302米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝302×22＝30(米)，BF＝DF＝30米，∵斜坡BE的坡比为3∶1，∴BFEF＝31，解得EF＝103(米)，∴DE＝DF－EF＝30－103(米)．答：休闲平台DE的长是(30－103)米(2)设GH＝x米，则MH＝GH－GM＝x－30(米)，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(米)，在Rt△DMH中，tan30°＝MHDM，即x－3063＝33，解得x＝30＋213，答：建筑物GH的高为(30＋213)米【点评】此题考查了坡度、坡角问题以及俯角、仰角的定义．要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．[对应训练]4．(2015·攀枝花)如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．解：(1)∵∠CBO＝60°，∠COB＝30°，∴∠BCO＝90°.在Rt△BCO中，∵OB＝120，∴BC＝12OB＝60，∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60＝1(小时)(2)过点C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E.则OC＝OB·cos30°＝603，CD＝12OC＝303，OD＝OC·cos30°＝90，∴DE＝90－3v.∵CE＝60，CD2＋DE2＝CE2，∴(303)2＋(90－3v)2＝602，∴v＝20或40，∴当v＝20km/h时，OE＝3×20＝60km，当v＝40km/h时，OE＝3×40＝120km试题如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离(B，F，C在一条直线上)．(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．(结果保留整数，参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25)审题视角(1)分清已知条件和未知条件(待求)；(2)将问题集中到一个直角三角形中；(3)利用直角三角形的边角之间关系(三角函数)求解．规范解题解：(1)过点E作EM⊥AB，垂足为M.设AB为x.在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF＋FC＝x＋13.在Rt△AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB－BM＝AB－CE＝x－2，∴tan22°＝AMME＝x－2x＋13＝25，∴x＝12.即教学楼的高度为12m.(2)由(1)可得，ME＝BC＝x＋13＝12＋13＝25.在Rt△AME中，cos22°＝MEAE，∴AE＝MEcos22°≈251516≈27.即A，E之间的距离约为27m.答题思路解直角三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知条件与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解直角三角形的数学模型；第三步：求解——利用三角函数有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．