【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《两角和与差的正弦、余弦和正切》

【2014年高考会这样考】1．考查利用两角和差公式、二倍角公式进行三角函数式的化简与求值．2．考查利用三角公式进行简单的恒等变换．第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切A级B级抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练两角和与差的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式有关公式的逆用、变形等考向一考向二考向三助学微博考点自测【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】三角变换的简单应用三角函数式的化简三角函数的求值或求角问题选择题填空题解答题123、、、选择题填空题解答题123、、、三角函数求值问题(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(______________)；(2)cos2α＝____________，sin2α＝_________；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π41．两角和与差的正弦、余弦和正切公式cos(α∓β)＝_____________________sin(α±β)＝_____________________tan(α±β)＝_____________________.考点梳理2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝__________________；cos2α＝___________＝_________＝_________；tan2α＝__________________.3．二倍角的正弦、余弦、正切公式cosαcosβ±sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2sinαcosβcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2αtanα±tanβ1∓tanαtanβ1∓tanαtanβ1＋cos2α21－cos2α2一个技巧助学微博拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.三个变换(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．1．(2013·合肥模拟)已知cosα＝35，α是第一象限角，则1＋2cos2α－π4sinα＋π2＝()．A.25B.75C.145D．－252．(2012·重庆)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()．A．－3B．－1C．1D．33．(2011·辽宁)设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝()．A．－79B．－19C.19D.794．(2011·浙江)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2等于()．A.33B．－33C.539D．－695．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解3考点自测CAAC12345【例1】►(1)化简1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．(2)化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ24cos2θ2【审题视点】解(1)考向一三角函数式的化简(1)把角θ变为θ2入手，合理使用公式．＝cosθ2·sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20，所以原式＝－cosθ.(2)切化弦，通分，利用公式把非特殊角化为特殊角(2)原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2·sin80°＝2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6【方法锦囊】三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．原式＝12－121＋cos2α2【训练1】化简下列各式：(1)12－1212＋12cos2αα∈3π2，2π＝____.(2)cos2α－sin2α2tanπ4－αcos2π4－α＝________.解(1)＝12－12cos2α＝12－12|cosα|＝12－12cosα＝1－cosα2＝sinα2＝sinα2.(2)原式＝cos2α－sin2α2sinπ4－αcosπ4－α·cos2π4－α＝cos2α－sin2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.考向一三角函数式的化简考向二三角函数的求值或求角问题【例2】►(1)已知0βπ2απ,且cosα－β2＝－19,sinα2－β＝23,求cos(α＋β)的值；解(1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝＝2×49×5729－1＝－239729.2cos2α＋β2－1【审题视点】(1)拆分角：α＋β2＝α－β2－α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．解(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.【例2】►(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．【审题视点】(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.(1)注意变角α－β2－α2－β＝α＋β2，可先求cosα＋β2或sinα＋β2的值．(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求tanα的值，再求tan2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．【方法锦囊】(4)解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．考向二三角函数的求值或求角问题【训练2】已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，(1)求tan2α的值；(2)求β.解析（1）∵cosα＝17，0απ2，∴sinα＝437，∴tanα＝43，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－48＝－8347.(2)∵0βαπ2，∴0α－βπ2，∴sin(α－β)＝3314，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.考向二三角函数的求值或求角问题【例3】►已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．【审题视点】考向三三角变换的简单应用解析（1）f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sinx＋π4·cosx＋π4(1)化简f(x)，由tanα＝2代入求f(α)；＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin2x＋π2＝12＋12(sin2x－cos2x)＋cos2x＝12(sin2x＋cos2x)＋12.＝12(sin2x＋cos2x)＋12.由tanα＝2，得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45.cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α＝－35.所以，f(α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.【例3】►已知f(x)＝1＋1tanxsin2x－2sinx＋π4·sinx－π4.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．【审题视点】考向三三角变换的简单应用(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．【方法锦囊】解（2）由(1)得f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12＝22sin2x＋π4＋12.由x∈π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤54π.∴－22≤sin2x＋π4≤1,0≤f(x)≤2＋12，所以f(x)的取值范围是0，2＋12(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范围．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．此时y＝g(x)的最大值为12.【训练3】(2013·石家庄质检)设函数f(x)＝sinπx3－π6－2cos2πx6.(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值．解析(1)考向三三角变换的简单应用所以y＝f(x)的最小正周期T＝2ππ3＝6.由2kπ－π2≤π3x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得6k－12≤x≤6k＋52，k∈Z，(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，由题意知f(x)＝32sinπx3－32cosπx3－1=3·sinπx3－π3－1，当x∈[3,4]时，π3x－π3∈23π，π，sinπ3x－π3∈0，32，f(x)∈－1，12，所以y＝f(x)的单调递增区间为6k－12，6k＋52，k∈Z.()yfx()ygx所以当x∈[0,1]时,y＝g(x)的最大值即为x∈[3,4]时,y＝f(x)的最大值．热