【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《函数的应用》

【2014年高考会这样考】1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．4．合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.第9讲函数的应用抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练常见的几种函数模型三种函数模型图象与性质比较考向一考向二考向三函数建模及函数应用问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】函数y＝x＋a/x模型指数函数模型一次函数、二次函数模型选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、考点梳理1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝(a≠0)；(2)反比例函数模型：y＝(k≠0)；(3)二次函数模型：y＝(a≠0)；(4)指数函数模型：y＝N(1＋p)x(x＞0，p≠0)(增长率问题)；(5)对数函数模型：y＝blogax(x＞0，a＞0且a≠1)；(6)幂函数模型：y＝xn；(7)y＝x＋型(x≠0)；(8)分段函数型．ax2＋bx＋cax＋bxkax性质函数y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调.单调.单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大图象与接近平行随x值增大图象与接近平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax考点梳理2．三种函数模型图象与性质比较递增y轴x轴递增助学微博(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型．(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．(4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论．四个步骤一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为()．A.95元B.100元C.105元D.110元2．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟后甲桶中的水只有a8，则m的值为()．A．7B．8C．9D．103．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再慢慢走余下的路程，图中纵坐标表示离学校的距离s，横坐标表示出发后的时间t，则如图所示的四个图形中较符合该学生走法的是()．4．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．5．(人教A版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是______．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测ADD6,10000y＝a(1＋r)x12345[审题视点]正确理解s的意义及函数v＝f(t)的图象是解答此题的关键，该函数的定义域即风暴发生的时间由函数v＝f(t)的图象确定，即0≤t≤35.考向一一次函数、二次函数模型【例1】►据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解(1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，∴s＝12×4×12＝24.[方法锦囊]1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).2．当两变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数则可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起,要注意各段变量的范围,特别是端点.考向一一次函数、二次函数模型(2)当0≤t≤10时，s＝12·t·3t＝32t2；当10t≤20时，s＝12×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20t≤35时，s＝12×10×30＋10×30＋(t－20)×30－12×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上可知，s＝32t2，t∈[0，10]，30t－150，t∈10，20]，－t2＋70t－550，t∈20，35].(3)∵t∈[0,10]时，smax＝32×102＝150650，t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450650，∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40.∵20t≤35，∴t＝30，∴沙尘暴发生30h后将侵袭到N城．考向一一次函数、二次函数模型【训练1】经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为g(t)＝12t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值．解(1)根据题意，得S＝－2t＋20012t＋30，1≤t≤30，t∈N45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N＝－t2＋40t＋6000，1≤t≤30，t∈N，－90t＋9000，31≤t≤50，t∈N.[方法锦囊]1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).2．当两变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数则可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起,要注意各段变量的范围,特别是端点.考向一一次函数、二次函数模型(2)①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6400，∴当t＝20时，S的最大值为6400；②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9000为减函数，∴当t＝31时，S的最大值为6210.∵62106400，∴当t＝20时，日销售额S有最大值6400.[方法锦囊]1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0).2．当两变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数则可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起,要注意各段变量的范围,特别是端点.[审题视点]本题信息量大,解析式较繁,需要考生有较强的阅读理解能力和计算能力,同时，对题目的转化尤为重要，(2)中即证明g(t)递增；(3)中转化为解方程即可．考向二指数函数模型【例2】►有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为Vm3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为rm3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)＝pr＋g0－pre－rVt(p≥0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当g(0)pr时，湖泊的污染程度将越来越严重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?【方法锦囊】1.指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型将有关已知数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．考向二指数函数模型(1)解设0≤t1t2，∴g(t)为常数，∴g(t1)＝g(t2)，即g0－pr·e－rVt1－e－rVt2＝0.∴g(0)＝pr.(2)证明设0t1t2，则g(t1)－g(t2)＝g0－pr·e－rVt1－e－rVt2＝g0－pr·erVt2－erVt1erVt1＋t2.∵g(0)－pr0，t1t2，∴g(t1)g(t2)．故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重．【方法锦囊】1.指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型将有关已知数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．考向二指数函数模型(3)解污染源停止，即p＝0，此时g(t)＝g(0)·e－rVt.设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g(t)＝5%·g(0)，即有5%·g(0)＝g(0)·e－rVt.由实际意义知g(0)≠0，∴120＝e－rVt.∴t＝Vrln20，即需要Vrln20天时间．【训练2】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解(1)设y＝kt，0≤t≤1，12t－a，t1.当t＝1时，由y＝4，得k＝4，由121－a＝4，得a＝3.则y＝4t，0≤t≤1，12t－3，t1.【方法锦囊】考向二指数函数模型1.指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型将有关已知数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．(2)由y≥0.25得0≤t≤1，4t≥0.25，或t1，12t－3≥0.25.解得116≤t≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时．【方法锦囊】考向二指数函数模型1.指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型将有关已知数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型．3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．【例3】►上海某玩具厂生产x万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P元，且P＝1000＋5x＋110x2，x∈(0,200]，而每万套售出