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12.1轴对称（二）轴对称的性质、线段的垂直平分线概念复习轴对称图形的概念是什么？两个图形轴对称的概念是什么？如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称(也叫做两个图形成轴对称图形）,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。A′ABCB′C′ACBA’B’C’NM思考：如图，△ABC与△AˊBˊCˊ关于直线MN对称，点Aˊ，Bˊ，Cˊ分别为点ABC的对称点，线段AAˊ，BBˊ，CCˊ与直线MN有什么关系？P∠MPA=∠MPAˊ=90°AP=PAˊ对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线ACBA’B’C’l如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线lA‘A轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线ABP3P2P1l如左图，木条L与木条AB钉在一起，L垂直于AB，P1、P2、P3……是l的点，分别量一量点P1、P2、P3……到Ａ与B的距离，你有什么发现？猜想：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.已知:如图AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMNACBPMN已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°在△APC与△BPC中PC=PC（公共边）∠PCA=∠PCB（已证）AC=BC（已知）∴△PCA≌△PCB(SAS)；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．如果把这个命题反过来说，还成立吗？你能证明这个结论吗？已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．CBPA∴AC=BC（全等三角形对应角相等）即，P点在AB的垂直平分线上证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，∴∠PCA=∠PCB=90°在Rt△PAC≌Rt△PBC中PA=PB，PC=PC（公共边），∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)BPA已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．C∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=∠90°即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上证法二：取AB的中点C，连接P,C∵△APC与△BPC中∵AP=BPPC=PCAC=CB∴△APC≌△BPC(SSS)线段垂直平分线的判定：定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．用数学语言表示：∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).回味无穷线段垂直平分线性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.符号语言,∵AC=BC,MN⊥AB于点C,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).线段垂直平分线判定定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.符号语言,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).小结拓展ACBPMN挑战自我随堂练习1驶向胜利的彼岸如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=0.EDABC760想一想，做一做用尺规作线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．DCBA作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．21补充练习：1．已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P．求证：点P在AC的垂直平分线上．2．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PDABCD