搜索
第一章高精度计算利用计算机进行数值计算，有时会遇到这样的问题：有些计算要求精度高，希望计算的数的位数可达几十位甚至几百位，虽然计算机的计算精度也算较高了，但因受到硬件的限制，往往达不到实际问题所要求的精度。我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高精度计算。介绍常用的几种高精度计算的方法。高精度计算中需要处理好以下几个问题：(1)数据的接收方法和存贮方法数据的接收和存贮：当输入的数很长时，可采用字符串方式输入，这样可输入数字很长的数，利用字符串函数和操作运算，将每一位数取出，存入数组中。另一种方法是直接用循环加数组方法输入数据。voidinit(inta[])//传入一个数组{strings;cins;//读入字符串sa[0]=s.length();//用a[0]计算字符串s的位数for(i=1;i=a[0];i++)a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将数串s转换为数组a，并倒序存储}另一种方法是直接用循环加数组方法输入数据。(2)高精度数位数的确定位数的确定：接收时往往是用字符串的，所以它的位数就等于字符串的长度。(3)进位,借位处理加法进位：c[i]=a[i]+b[i];if(c[i]=10){c[i]%=10;++c[i+1];}减法借位：if(a[i]b[i]){--a[i+1];a[i]+=10;}c[i]=a[i]-b[i];乘法进位：c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1];x=c[i+j-1]/10;c[i+j-1]%=10;(4)商和余数的求法商和余数处理：视被除数和除数的位数情况进行处理.【例1】高精度加法。输入两个正整数，求它们的和。【分析】输入两个数到两个变量中，然后用赋值语句求它们的和，输出。但是，我们知道，在C++语言中任何数据类型都有一定的表示范围。而当两个被加数很大时，上述算法显然不能求出精确解，因此我们需要寻求另外一种方法。在读小学时，我们做加法都采用竖式方法，如图1。这样，我们方便写出两个整数相加的算法。856+2551111图1A3A2A1+B3B2B1C4C3C2C1图2如果我们用数组A、B分别存储加数和被加数，用数组C存储结果。则上例有A[1]=6，A[2]=5，A[3]=8，B[1]=5，B[2]=5，B[3]=2，C[4]=1，C[3]=1，C[2]=1，C[1]=1，两数相加如图2所示。因此，算法描述如下：intc[100];voidadd(inta[],intb[])//a,b,c都为数组，分别存储被加数、加数、结果{inti=1,x=0;//x是进位while((i=a数组长度)||(i=b数组的长度)){c[i]=a[i]+b[i]+x;//第i位相加并加上次的进位x=c[i]/10;//向高位进位c[i]%=10;//存储第i位的值i++;//位置下标变量}}通常，读入的两个整数用可用字符串来存储，程序设计如下：#includeiostream#includecstdio#includecstringusingnamespacestd;intmain(){chara1[100],b1[100];inta[100],b[100],c[100],lena,lenb,lenc,i,x;memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));memset(c,0,sizeof(c));gets(a1);gets(b1);//输入加数与被加数lena=strlen(a1);lenb=strlen(b1);for(i=0;i=lena-1;i++)a[lena-i]=a1[i]-48;//加数放入a数组for(i=0;i=lenb-1;i++)b[lenb-i]=b1[i]-48;//加数放入b数组lenc=1;x=0;while(lenc=lena||lenc=lenb){c[lenc]=a[lenc]+b[lenc]+x;//两数相加x=c[lenc]/10;c[lenc]%=10;lenc++;}c[lenc]=x;if(c[lenc]==0)lenc--;//处理最高进位for(i=lenc;i=1;i--)coutc[i];//输出结果coutendl;return0;}【例2】高精度减法。输入两个正整数，求它们的差。【算法分析】类似加法，可以用竖式求减法。在做减法运算时，需要注意的是：被减数必须比减数大，同时需要处理借位。高精度减法的参考程序：#includeiostream#includecstdio#includecstringusingnamespacestd;intmain(){inta[256],b[256],c[256],lena,lenb,lenc,i;charn[256],n1[256],n2[256];memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));memset(c,0,sizeof(c));printf(Inputminuend:);gets(n1);//输入被减数printf(Inputsubtrahend:);gets(n2);//输入减数if(strlen(n1)strlen(n2)||(strlen(n1)==strlen(n2)&&strcmp(n1,n2)0))//strcmp()为字符串比较函数，当n1==n2,返回0;//n1n2时，返回正整数；n1n2时，返回负整数{//处理被减数和减数，交换被减数和减数strcpy(n,n1);//将n1数组的值完全赋值给n数组strcpy(n1,n2);strcpy(n2,n);cout-;//交换了减数和被减数，结果为负数}lena=strlen(n1);lenb=strlen(n2);for(i=0;i=lena-1;i++)a[lena-i]=int(n1[i]-'0');//被减数放入a数组for(i=0;i=lenb-1;i++)b[lenb-i]=int(n2[i]-'0');//减数放入b数组i=1;while(i=lena||i=lenb){if(a[i]b[i]){a[i]+=10;//不够减，那么向高位借1当10a[i+1]--;}c[i]=a[i]-b[i];//对应位相减i++;}lenc=i;while((c[lenc]==0)&&(lenc1))lenc--;//最高位的0不输出for(i=lenc;i=1;i--)coutc[i];//输出结果coutendl;return0;}【例3】高精度乘法。输入两个正整数，求它们的积。【算法分析】类似加法，可以用竖式求乘法。在做乘法运算时，同样也有进位，同时对每一位进行乘法运算时，必须进行错位相加，如图3、图4。分析c数组下标的变化规律，可以写出如下关系式：ci=c’i+c”i+…由此可见，ci跟a[i]*b[j]乘积有关，跟上次的进位有关，还跟原ci的值有关，分析下标规律，有c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1];x=c[i+j-1]/10;c[i+j-1]%=10;856×254280171221400图3A3A2A1×B2B1C’4C’3C’2C’1C”5C”4C”3C”2C6C5C4C3C2C1图4高精度乘法的参考程序：#includeiostream#includecstring#includecstdiousingnamespacestd;intmain(){chara1[100],b1[100];inta[100],b[100],c[100],lena,lenb,lenc,i,j,x;memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));memset(c,0,sizeof(c));gets(a1);gets(b1);lena=strlen(a1);lenb=strlen(b1);for(i=0;i=lena-1;i++)a[lena-i]=a1[i]-48;for(i=0;i=lenb-1;i++)b[lenb-i]=b1[i]-48;for(i=1;i=lena;i++){x=0;//用于存放进位for(j=1;j=lenb;j++)//对乘数的每一位进行处理{c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1];//当前乘积+上次乘积进位+原数x=c[i+j-1]/10;c[i+j-1]%=10;}c[i+lenb]=x;//进位}lenc=lena+lenb;while(c[lenc]==0&&lenc1)//删除前导0lenc--;for(i=lenc;i=1;i--)coutc[i];coutendl;return0;}高精乘【例4】高精度除法。输入两个正整数，求它们的商（做整除）。【算法分析】做除法时，每一次商的值都在０～９，每次求得的余数连接以后的若干位得到新的被除数，继续做除法。因此，在做高精度除法时，要涉及到乘法运算和减法运算，还有移位处理。当然，为了程序简洁，可以避免高精度除法，用0～9次循环减法取代得到商的值。这里，我们讨论一下高精度数除以单精度数的结果，采取的方法是按位相除法。#includeiostream#includecstring#includecstdiousingnamespacestd;intmain(){chara1[100],c1[100];inta[100],c[100],lena,i,x=0,lenc,b;memset(a,0,sizeof(a));memset(c,0,sizeof(c));gets(a1);cinb;lena=strlen(a1);for(i=0;i=lena-1;i++)a[i+1]=a1[i]-48;//无需倒存，除法就是从最高位开始做起for(i=1;i=lena;i++)//按位相除{c[i]=(x*10+a[i])/b;x=(x*10+a[i])%b;}lenc=1;while(c[lenc]==0&&lenclena)lenc++;//删除前导0for(i=lenc;i=lena;i++)coutc[i];coutendl;return0;}实质上，在做两个高精度数运算时候，存储高精度数的数组元素可以不仅仅只保留一个数字，而采取保留多位数（例如一个整型或长整型数据等），这样，在做运算（特别是乘法运算）时，可以减少很多操作次数。例如图5就是采用4位保存的除法运算，其他运算也类似。具体程序可以修改上述例题予以解决，程序请读者完成。示例：123456789÷45=1’2345’6789÷45=274’3484∵1/45=0，1%45=1∴取12345/45=274∵12345%45=15∴取156789/45=3484∴答案为2743484,余数为156789%45=9图5【例5】高精除以高精，求它们的商和余数。【算法分析】高精除以低精是对被除数的每一位（这里的“一位”包含前面的余数，以下都是如此）都除以除数，而高精除以高精则是用减法模拟除法，对被除数的每一位都减去除数，一直减到当前位置的数字（包含前面的余数）小于除数（由于每一位的数字小于10，所以对于每一位最多进行10次计算）具体实现程序如下：#includeiostream#includecstringusingnamespacestd;inta[101],b[101],c[101],d,i;voidinit(inta[]){strings;cins;//读入字符串sa[0]=s.length();//用a[0]计算字符串s的位数for(i=1;i=a[0];i++)a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将数串s转换为数组a，并倒序存储．}voidprint(inta[])//打印输出{if(a[0]==0){cout0endl;retur