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数学第18讲等腰三角形与直角三角形等腰三角形1．定义：有________相等的三角形叫做等腰三角形．2．性质：(1)等腰三角形的两个________相等(简称“等边对________”)．(2)等腰三角形的顶角________线、底边上的________线、底边上的________互相重合(简称“三线合一”)．3．判定：如果一个三角形有两个________相等，那么这两个角所对的________也相等(简称“等角对________”)．等边三角形1．定义：________都相等的三角形叫做等边三角形．2．性质：等边三角形的三个________都相等，且都等于________．3．判定：(1)三个________都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是________的________三角形是等边三角形．线段的垂直平分线1．定义：________一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段________的距离相等．3．逆定理：到一条线段________的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．角平分线1．性质：角平分线上的点到角两边的距离________．2．逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在________．直角三角形的性质与判定1．性质：(1)直角三角形的两锐角________．(2)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么________．(3)在直角三角形中，30°角所对的________等于斜边的________．(4)在直角三角形中，________上的中线等于斜边的一半．2．判定：(1)有一个角是________的三角形是直角三角形．(2)有两个角________的三角形是直角三角形．(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是________三角形．(4)如果一个三角形一边上的________等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．等腰三角形的性质与判定•【例1】如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O.•(1)求证：AD＝AE；•(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由解：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，又∠DAC＝∠EAB，AB＝AC，∴△ACD≌△ABE(AAS)，∴AD＝AE(2)互相垂直，理由：由(1)AD＝AE，又AO＝AO，∠ADO＝∠AEO＝90°，∴△ADO≌△AEO(HL)，∴∠DAO＝∠EAO，即OA平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴OA⊥BC•1．等腰三角形是最常见的图形之一，其性质在研究平行四边形、圆时，有非常广泛的应用，应准确熟练地掌握其性质并灵活应用．•2．“等边对等角”或“等角对等边”仅限于在一个三角形中．•【例2】(1)如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是______．•(2)如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.等边三角形的性质与判定30a①求证：△ABE≌△CAD；②求∠BFD的度数．等边三角形是特殊的等腰三角形，它除具备等腰三角形的所有性质外，还具备其三边中线、高、三内角平分线的交点重合，且此点到三个顶点的距离相等，到三边的距离相等，到顶点的距离是到对边中点的距离的2倍．解：①∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，又AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)②∵△ABE≌△CAD，∴∠ABF＝∠CAD，∵∠BFD＝∠ABF＋∠BAD，∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝60°•【例3】(1)已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2，分别以每组数据的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有()•A．②B．①②C．①③D．②③•(2)(2014·深圳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，则CD＝____．直角三角的性质与判定D3(1)勾股定理的逆定理―→判断其能否构成直角三角形；(2)由题中条件结合图形，过D作DE⊥AB于E―→由勾股定理求AB；由角平分线性质―→AE＝AC＝6―→BE＝4，设CD＝x―→x2＋42＝(8－x)2―→求x.真题热身•1．(2014·淮安)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为()•A．5B．6C．7D．25•2．(2013·武汉)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是()•A．18°B．24°C．30°D．36°AA3．(2012·荆州)如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为()A．2B．23C.3D．34．(2014·衢州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是____．C20•5．(2013·鄂州)著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来，若AB＝20cm，则画出的圆的半径为____cm.10•6．(2014·襄阳)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.•(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)•(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．解：(1)①②；①③(2)选①③证明如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠EBO＝∠DCO，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形•请完成本节对应练习