第9章光脉冲的传播与光孤子

138第9章光脉冲在光纤中的传播与光孤子本章主要内容：讨论非线性导波光学中的光学孤子现象。1．推导描述光脉冲在非线性光纤中传播规律的非线性薛定谔波动方程，2．分析色散和自相位调制对光脉冲传播的影响，3．光孤子的条件；光孤子的特性。4．简略介绍空间光孤子的概念。9.1非线性薛定谔方程多数光纤中的非线性效应都与脉宽从10ns到10fs范围的光脉冲在光纤中的传播有关。在传播过程中色散和非线性两者都影响脉冲的形状和光谱。光波在非线性介质中传播的波动方程一般如（2.1.16）形式：2200022NLtttLEεEPE。(9.1.1)对各向同性介质，0E，因此22()EEEE。利用真空中的光速001/c，和波矢0kkn，kc0/，设0，式（2.1.16）变为2222222001LctctΕPE。(9.1.2)以下考虑一些简化条件。首先，认为光电场是时间和空间的缓变函数（相对光的波长和周期），可以忽略时间导数项和坐标的一阶导数；其次，假定光场保持沿光纤长度方向偏振不变，故标量方法适用。此外，光场假定是准单色的，也就是在中心频率0（15110s）的脉冲谱宽（0.1ps）满足0/1。设光沿z轴传播，把电场和非线性极化分别写成（设波矢匹配）0(,t)(,t)e..itΕrErcc，(9.1.4)0(,)(,)e..ttitNLNLPrPrcc，(9.1.5)式中，(,)tEr场振幅；电场沿x方向偏振；0是波包的中心频率。利用(,)Ert的傅里叶变换，将时域的光场与极化强度变成频域量（标以“～”139符号）：0()0(,)(,)etdtitErEr，(9.1.6)0()0(,)(,)etdtitPrPr。(9.1.7)将式(9.1.6)～(9.1.7)代入式(9.1.2)，略去时间的导数项，删去等式两边的积分符号和0()ite得到2220000LNLkkEΕP(9.1.8)式中0/kc。(9.1.8)中线性介电系数和非线性极化强度分别为(1)0(1)L，(9.1.9)2(3)(3)03()()()PPEENL。(9.1.10)定义介质总介电系数为2(1)(3)0()[1()3()]E。(9.1.11)则导出了单色波的频域非线性波动方程——亥姆赫兹方程：220()0EEk。(9.1.12)再利用关系，200(/2)nik(9.1.13)和(1)0'(1')L，及00'/Ln，由(9.1.11)和(9.1.13)，1222(3)(3)(1)0000022(3)(3)(1)022200022(3)(3)(1)0003'()3''()'()''/21'''3'()3''()()''1)2223'()3''()()''222EEEEEELLLLiinikiinnnnninnn0。(9.1.14)对比式(9.2.14)两边，得到140202Ennn，(9.1.15)202E。(9.1.16)可得非线性折射系数2n和双光子收系数2分别为(3)203'2xnn,(9.1.17)(3)0203''2kxn,(9.1.18)对于光纤，2很小，可忽略。2n是光纤非线性的度量。实际上非线性折射率相对于线性折射率也很小，即2620(/)10nEn。方程(9.1.12)须用分离变量法来解。假定解为如下形式000(,)(,)(,)exp()ErFxyAziz(9.1.19)假定(,)Az是z的缓变函数，(,)Fxy是横向模分布函数，0是波矢。方程(9.1.12)可分离成两个关于模分布(,)Fxy和场振幅A的方程2222022[()]0FFkFxy，(9.1.20)22002()0AiAz。(9.1.21)推导方程(9.1.21)时，略去了22/Az项，因为(,)Az是z的缓变函数。可近似表达方程(9.1.20)中的()，由(9.1.13)，200200202002000()(/2)(/2)()(2)Eniknniknnnnn(9.1.22)式中n为微扰，表为2202Einnk(9.1.23)141此方程可用一级微扰法求解。用2n代替解方程，得到模分布(,)Fxy和对应的()。对于方程(9.1.21)，利用近似2200000()()2()，以及()()(9.1.24)式(9.2.21)变成0[()]AiAz。(9.1.25)式中202(,)(,)knFxydxdyFxydxdy。(9.1.26)在一级微扰下n不会影响模分布(,Fxy），它可表示为(9.1.23)。将()按泰勒级数在频率0附近展开2001021()()()...2，(9.1.27)式中0nnndd(1,2,...)n。(9.1.28)例如，1dd为群速度的倒数；222dd表示色散。因0，三阶以上的项被忽略。将式(9.1.27)代入(9.1.25)，并取反傅里叶变换0()01(,)(,)e2itAztAzd。(9.1.29)在进行反傅里叶变换时，0被算子(/)it替换，则式(9.1.25)变为(,)Azt的时域波动方程2221222AAiAAiAAztt，(9.1.30)这里是非线性参量，定义为14220effncA，(9.1.31)其中effA为有效纤芯面积，其计算公式为224((,))(,)effFxydxdyAFxydxdy(9.1.32)式中(,)Fxy为光纤基模的模分布函数，可近似以高斯分布表示，即222(,)exywFxy，（9.1.33)则2effAw，(9.1.34)式中w为束宽参量。一般光纤在波长1.5m附近时，220100effAm。若取20222.610/nmW，可在111/10/WkmWkm范围内变化。方程(9.1.30)描述皮秒光脉冲在单模光纤中的传播规律，称为非线性薛定谔方程(NLS)。其中反映光纤的损耗，脉冲波形以群速11/gv移动，群速色散效应（GVD）由群速色散参数2决定。2的正负取决于波长是小于还是大于零色散波长1.31m，见图9.1.1。当1.55m时，2225/pskm。图9.1.1单模光纤群速色散参数2与波长的关系由式(9.1.6)及(9.1.19)可把光电场表为14300()(,)(,)(,)e..EAiztrtFxyztcc(9.1.35)采用群速gv运动坐标系中测量的时间1/gTtzvtz(9.1.36)方程(9.1.30)变成222222AiAiAAAzT(9.1.37)这就是描述光孤子的NLS方程。(,)AzT为脉冲包络的振幅，右边第一项描述光波在光纤中传播的吸收，第二项描述群速色散（GVD），第三项描述光纤的自相位调制（简称SPM）非线性光学效应。此方程实际上忽略了高阶非线性效应。这个方程适用于描述脉冲宽度05Tps的光脉冲在光纤中的传输。在光脉冲传播过程中是色散起主要作用还是非线性自相位调制起主要作用分别与光纤的群速色散参数2和非线性参量有关；也与入射光脉冲的初始宽度0T和峰值功率0P有关。因此引入两个描述色散强度和非线性强度的长度，即色散长度DL和非线性长度NLL来与光纤的长度L相比。首先引入一个相对于初始脉冲宽度0T的规一化时间量00/gtzvTTT(9.1.38)同时引入归一化的振幅U0(,)exp(/2)(,)AzPzUz(9.1.39)式中0P是入射脉冲的峰值功率；指数因子衡量光纤的损耗。因此方程(9.1.37)改写为2222sgn()exp()2DNLUUziUUzLL(9.1.40)式中2sgn()1取决于GVD参量2的符号。色散长度DL和非线性长度NLL分别定义为202DTL，(9.1.41)14401NLLP。(9.1.42)可见，光脉冲的脉宽与2决定着群速色散GVD，而光脉冲的功率与决定着自相调制SPM。根据L，DL和NLL数值的相对大小，可把光脉冲在光纤中的传输分成四种情况研究。9.2群速色散与自相位调制下面从方程(9.1.40)出发，分别研究四种光脉冲的传输情况：9.2.1.不计色散和非线性的脉冲传输（DLL，NLLL）当光纤很短，无论是色散还是非线性二者都不起重要作用，即DLL和NLLL。方程(9.1.33)右边两项为零，则(,)(0,)UzU，也就是脉冲在传输时保持它的形状不变。例如对于波长1.55m，2225/pskm，113Wkm的标准光纤和0100Tps，01PmW的光脉冲，这时400DLkm，330NLLkm，光纤长50Lkm满足以上条件。9.2.2.色散对脉冲传播的影响（NLLL，DLL）若NLLL，但DLL，式(9.1.33)右边第二项可以略去，脉冲的变化主要决定于群速色散（GVD）。这时20021DNLLPTL(9.2.1)粗略地估计，对＝1.55m的标准光纤，取和2的典型值，这种情况适用于功率01PW的、脉宽1ps的脉冲光。下面讨论群速色散对光脉冲的影响，即使脉冲增宽的作用。设方程(9.1.30)中0，(,)UzT满足以下线性偏微分方程2222UUizT(9.2.2)145用傅利里叶变换法易于求解。设(,)Uz是(,)UzT的傅里叶变换，即1(,)(,)exp()2UzTUziTd，(9.2.3)则它满足方程2212UiUz。(9.2.4)其解为22(,)(0,)exp()2iUzUz。(9.2.5)可见GVD改变了脉冲中每个谱成分的相位，改变的大小因不同的频率和传输距离z而异。根据式(9.2.3)，时域下z处的总解为221(,)(0,)exp()22iUzTUziTdT，(9.2.6)其中0z处入射场的傅氏变换为(0,)(0,)exp()UUTiTdT。(9.2.7)(9.2.6)和(9.2.7)适用于任意形状的入射脉冲。假定入射场为高斯脉冲220(0,)exp2TUTT，(9.2.8)式中0T是光脉冲的半宽度（峰值的1/e）。对高斯脉冲实际使用的半峰值宽度FWHMT与0T有如下关系1/2FWHM002(ln2)1.665TTT。(9.2.9)利用式(9.2.6)-(9.2.8)并进行积分得到光纤中z点的振幅2021/220202(,)exp()2()TTUzTTizTiz。(9.2.10)于是高斯脉冲在传播时保持其形状，但其宽度随z按如下规律增大21/210()[1(/)]DTzTzL。(9.2.11)增宽因子10/TT除了与z有关以外，还取决于色散长度202/DLT。对一定的光146纤长度，短脉冲和大的2增宽更多。图9.2.1绘出高斯脉冲色散引起的增宽，对应0,2,4DDzLL的2(,)UzT—0/TT曲线。可见传播据距离越长，展宽越大。图9.2.1高斯脉冲的色散效应在0,2,4DDzLL点的增宽比较式(9.2.8)和(9.2.10)可见，虽然入射脉冲是未被调制的（不带啁啾的），但透射脉冲变成啁